zondag 24 augustus 2014

Het onzekerheidsprincipe van de leraar

Ik vraag wel eens aan leerlingen waar ik ze het meest mee geholpen heb.
't Antwoord is elke keer anders.
Olga

Ik ben al een tijdje bezig met het schrijven van het vakwerkplan voor wiskunde HAVO/VWO bovenbouw. Ik heb nu een aantal pagina's geschreven, maar verder schiet het niet erg op. 't Is ook behoorlijk lastig. Bij werkvormen en differentiatie binnen de les staat zoiets als:

Welke afspraken zijn binnen het vak per afdeling gemaakt met betrekking tot werkvormen en vormen van differentiatie? Leggen de werkvormen een relatie met de onderwijsvisie van de school?

De bedoeling is dat ik hier een zinnig antwoord op geef. Afspraken? Relatie met de visie van school? 't Is nog een studie apart...:-)

Nu zou ik deze vragen voor mezelf nog wel kunnen beantwoorden. Ik zou kunnen beschrijven wat ik allemaal zo heb uitgedacht, uitgevoerd, veranderd of van plan ben... maar dat is dan alleen wat ik doe. 't Is nog niet zeker of mijn manier de beste manier is en al helemaal niet of dit voor mijn collega's dan ook maar de beste manier moet zijn. Dat gaat te ver...:-)

Een bijkomend probleem is dat ik niet doe wat er in het vakwerkplan staat. Ik doe nieuwe dingen, maar die veranderen dan ook weer zo snel dat opschrijven wat ik precies doe ook niet zo veel zin heeft. Althans niet in zoiets als een vakwerkplan. Ik schrijf er wel over, maar ik geloof niet dat iemand dat leest.

Als je nu 's ietsje verder nadenkt over wat docenten doen dan kan je bijna niet anders concluderen dat een kerncompetentie van een docent is dat je naar eer en geweten zo goed mogelijk probeert les te geven. Dat is uiteraard gebaseerd op je kennis en ervaringen. Je doet wat nodig is, maar je kijkt tegelijkertijd heel goed of je inspanningen ook het gewenste resultaat hebben. Mocht dat niet het geval zijn dan moet je iets anders gaan doen.

Het gevolg is dat je nooit zeker bent of wat je doet wel is wat werkt. Resultaten uit het verleden geven nu eenmaal geen garantie voor de toekomst. Het verandert steeds en je komt er gaandeweg achter wat wel en niet werkt. Er zijn heel veel factoren die een rol spelen, je kunt het gewoonweg niet voorspellen. Ik noem dat het onzekerheidsprincipe van de leraar.

Dat lijkt misschien een beetje vreemd maar dat is nu juist waarom het werkt. Ik geef les in samenspraak met de leerlingen, met mijn collega's, met de ouders en met de schoolleiding. Wij doen dat samen. Iedereen die denkt dat hij of zij het beter weet heeft het per definitie mis. Dat weet je niet...

Mijn indruk is dat de kwaliteit van docenten vooral te maken heeft met het flexibel kunnen inspelen op wat er gebeurt. Bij klassikale uitleg moet je kunnen zien of wat je staat te vertellen begrepen wordt. Als leerlingen aan het werk zijn moet je kunnen zien of dat op de goede manier gebeurt. Je moet aan wat leerlingen zeggen kunnen opmaken wat er goed gaat en waar het beter kan. Als je toetst dan moet je de resultaten op hun waarde kunnen inschatten, enz.

Dit hele proces is behoorlijk ingewikkeld. Van leerdoelen naar uitvoering, van evaluatie naar innovatie. De kunst is om bij elke omstandigheid, elke klas, elk niveau met alle bijkomende kenmerken die het verschil maken de juiste keuzes kunnen maken.

Dat betekent vaak dat je iets nieuws moet bedenken, van de afspraken afwijkt en kiest voor de leerlingen, voor het proces en het uitvoeren van de taken die je gesteld zijn. Bij mij is dat ik probeer de leerlingen zo goed mogelijk wiskunde te leren bijvoorbeeld. Hoe dan ook...:-)

vrijdag 22 augustus 2014

Topdown leren

"In mijn jaren als docent wiskunde startte ik een nieuw hoofdstuk altijd met de laatste opgave: voor alle leerlingen was het zo duidelijk waar we naar toe gingen werken, voor de (hoog)begaafde leerlingen gaf dit het broodnodige kader."
bron

woensdag 20 augustus 2014

Verwijderde weblogs

In 't kader van de zomeropruiming heb ik de volgende weblogs verwijderd:
  • Zelfverwijzing
    20-aug-2014 is verwijderd
  • ICTklas
    20-aug-2014 is verwijderd
  • Innovatie & onderwijs
    20-aug-2014 is verwijderd
  • WisFaq
    20-aug-2014 is verwijderd
...later meer...:-)


zaterdag 9 augustus 2014

Wiskunde leren is een fractal

q10219img1.gif

Iedereen denkt maar steeds dat wiskunde leren iets te maken heeft met begrip en inzicht. Dat klinkt wel leuk, maar hoe zit dat dan precies in elkaar? Bestaat dat wel? Of is het een fantasie? Is inzicht misschien een grote verzameling van andere dingen, ervaringen, herinneringen of vaardigheden? Kortom... wat zou het zijn?!

Het antwoord is: het is een fractal...:-)

Voorbeeld

Op deze pagina op WisFaq staat hoe je de afgeleide van \(f(x)=\sqrt{x}\) kunt afleiden uit de definitie.

Als je ooit verder wilt komen met die wiskunde, als je nieuwe dingen wilt kunnen bedenken, je werk op een hoger niveau wilt kunnen tillen dan moet je beschikken over heel veel goedverankerde basiskennis. Oefenen, oefenen en oefenen. Je kunt niet elke keer als je de afgeleide van bijvoorbeeld de wortelfunctie nodig hebt de definitie gaan toepassen. Dat schiet niet op.

Achter de definitie van de afgeleide gaat voorkennis schuil: coördinaten, assentelsels, functies, differentiequotiënten, ... Iets nieuws leren betekent voortbouwen op die voorkennis. Als je inzoomt op die voorkennis dan 'hangen' daar allerlei dingen aan vast. Kennis, vaardigheden, begrippen, attitudes en inzichten. Als je inzoomt op de voorkennis van de voorkennis dan zit daar ook weer allerlei voorkennis achter...

Maar 't is nog veel erger. De manier waarop je verbindingen legt met de bestaande kennis en vaardigheden is zelf juist ook weer wat ik 'wiskunde doen' zou willen noemen. Soms kan je niet volstaan met 'dat is nu eenmaal zo'. Soms kan je niet verder met de bestaande voorkennis. De voorkennis kan ontoereikend zijn, misschien moet die voorkennis wel aangepast of uitgebreid. Dan moet je terug naar de basis. Wat was ook weer de definitie van de afgeleide? Hoe hebben we die 'handige rekenregels' ook alweer afgeleid? Hoe kwamen we er aan?

Wiskunde leren is een continu proces van toepassen wat je al weet, maar ook teruggaan naar de basis, inzoomen op bestaande voorkennis. Bij dat in- en uitzoomen kom je steeds weer dezelfde dingen tegen, dezelfde vormen, dezelfde processen, dezelfde wetmatigheden, dezelfde structuren... Dat noem ik begrip en inzicht.

Kortom: wiskunde leren is een fractal.

donderdag 31 juli 2014

Onderwijs

"De school moet juist een tegenkracht zijn, moet niet te veel meebuigen met de tijdgeest. Naar Beethoven luisteren op school is een verrijkende ervaring voor kinderen die van huis uit alleen popmuziek kennen."
Grahame Lock

vrijdag 4 juli 2014

Meer leerlingen leren meer in minder tijd

Ik ben er nog niet helemaal uit, maar uit de gegevens van de enquete van het eXperiment taakgerichte instructie zou je kunnen concluderen dat het mogelijk is om leerlingen meer te leren in minder tijd. Dat is nog 's een aardige wending...:-)

Vraag 1
Hoeveel tijd heb je aan hoofdstuk 7 besteed?

q10546img1.gif

Vraag 2
Ben je tevreden over het eindresultaat van de proeven?

q10546img2.gif

Het zou best kunnen zijn dat deze 'methode' vooral geschikt is voor leerlingen waarbij die wiskunde niet zomaar komt aanwaaien. Misschien is juist deze groep gebaat bij heldere instructie, samen oefenen en snelle feedback door middel van deeltoetsen.

Is dat goed? Als je wilt dat meer leerlingen meer leren dan lijkt me dat niet verkeerd. Goede leerlingen (lees: leerlingen die de nodige vaardigheden prima uit het boek halen) worden niet direct benadeeld door meer nadruk op klassikale uitleg, samen oefenen en snel toetsen. Je zou je zelfs voor kunnen stellen dat je leerlingen laat kiezen: wil je de 'taakgerichte instructie' doen of zoek je 't liever zelf uit?

Een ander leermoment is dat, als je leerlingen mee laat denken over het 'leerproces', je enorm veel ideeën krijgt over waar je mee bezig bent of hoe je je onderwijs zou kunnen verbeteren. Een leerling schrijft in de enquete dat het bijvoorbeeld niet zo'n gek plan is om na deeltoetsen ook nog een 'grotere toets' te geven. Blijft de leerstof op 'deze manier' wel hangen? Leiden de hapklare brokken wel tot voldoen overzicht en inzicht?

Kortom: ik ga er nog een tijdje mee door. Ik ben er (tot zover) niet ontevreden over. De vraag is nu alleen wat je er verder mee moet doen. Zal ik er mee door gaan? Zal ik het proberen nog beter te maken? Of gaan we gewoon door op de oude voet...?:-)

zaterdag 28 juni 2014

Blauwe en rode kralen

"De verhouding tussen het aantal blauwe kralen en het aantal rode kralen in een vaas was eerst 2:5. Jan haalt er 1/4 van de blauwe kralen en 2/5 van de rode kralen uit. Bereken de nieuwe verhouding tussen het aantal blauwe kralen en het aantal rode kralen. Als er eerst 12 rode kralen meer dan blauwe kralen in de vaas zaten, hoeveel kralen zijn er dan in totaal uitgehaald?"
bron

donderdag 26 juni 2014

Les 4

Les 4 ging over de kettingregel. 't Is lastig. De uitleg bestond uit 3 delen:
  1. Machten van veeltermen.
  2. Wortelfuncties.
  3. Gecombineerd met de productregel
Dat was veel werk, hard werken en veel nadenken, maar 't ging aardig goed. Veel leerlingen hadden de essentie snel te pakken, geloof ik. Eigenlijk had ik nog willen ingaan op 'onder één noemer zetten' maar dat zou te veel geweest zijn. Normaal gesproken zou dat een leuk staartje zijn voor de donderdag. Even de stof herhalen van woensdag en dan nog even laten zien hoe dat nu zit met dat gelijknamig maken.

Bij de toets doe ik er wel een voorbeeld bij. Dat is ook een soort toetsvorm:-)

Het is hard werken voor de docent en de leeringen. De leerlingen zijn actief en lawaaiig, maar voor het grootste deel wel bezig met wiskunde. Ik vind het wel lastig om steeds om te schakelen. Van uitleg (stil) naar zelf doen (lawaaiig) en dan weer terug... Misschien moet ik soms ook ietsje langer wachten met uitleg over de opgaven...

Vermoeiend, enigszins chaotisch... maar voor sommige leerlingen werkt zeker. Ik ben alvast erg benieuwd naar de toets van vrijdag... en naar de resultaten van de enquete van volgende week.

q10318img1.gif
  • In les 4 komen een aantal zaken uit de andere lessen terug, productregel, wortels, ... Dat is goed.
  • Je kunt de vraag wanneer gebruik je nu welke regel? wel zien aankomen en daar kan je dan leuk op anticiperen.
  • Na 3 lessen op deze manier beginnen we toch wel een beetje gewend te raken. 't Is in ieder geval niet saai en de tijd vliegt.

zaterdag 21 juni 2014

Project X

Ik probeer (bijvoorbeeld in de derde klas) nog wel 's te experimenteren met eigen lesmateriaal. Een opdracht als oppervlakte van driehoeken is daar een voorbeeld van. Tot nu toe was ik daar slechts matig tevreden over.

Er is in ieder geval altijd een hobbel die je moet overwinnen:
  • Leerlingen hebben niet automatisch het idee dat 'mijn opdrachten' erg relevant zijn. Willem kan van alles bedenken maar 't staat niet in het boek dus moeten wij dat dan leren? Komt het in de proef? Of is het meer voor de lol? Zitten wij daar dan op te wachten? Hoe nuttig kan dat zijn?
Een beetje frusterend is dat wel. Je denkt als je wiskunde nu 's op een andere manier aanbiedt dan leren we daar misschien meer van? Misschien leren we dan belangrijkere dingen dan als je alleen maar heel veel domme sommen moet maken? Wiskunde is vooral ook een ontdekkingsreis? Geen hapklare brokken oppervlakkigheid maar echte problemen oplossen! Denkactiviteiten! Toepassen wat je allemaal al kan en verder kijken dan je neus lang is. Het mag toch ook wel leuk zijn?:-)

Dit jaar heb ik aan het eind van het schooljaar toch het gevoel dat ik nog 's een poging moet wagen. Na 8 hoofdstukken 'open deuren' wordt het tijd voor iets anders. Doe 's gek. Doe 's iets samen. Verleg 's wat grenzen.

Ik kan het niet laten dus ik ga toch nog de laatste weken raar doen. Ik heb 't maar project X genoemd. Ik verdeel de klas in groepen, wiskunde A en wiskunde B groepen en VWO- en HAVO-leerlingen bij elkaar... Ik heb een aantal opdrachten klaar liggen en de uitwerkingen worden ingeleverd, ik beoordeel ze en de resultaten tellen mee als 'proef van hoofdstuk 9'.

Een mooi experiment dat waarschijnlijk meer vragen oproept dan het zal beantwoorden, maar wat geeft het? Als je niet verdwaald dan kom je nooit ergens. Ik ga 't maar gewoon 's doen en dan komen de vragen vanzelf.:-)

q10407img1.gif

vrijdag 20 juni 2014

Eén groot misverstand

Uit 'Early Predictors of High School Mathematics Achievement':

Summary: Elementary school students’ knowledge of fractions and division uniquely predicts their high school mathematics achievement, even after controlling for a wide range of relevant variables, suggesting that efforts to improve mathematics education should focus on improving students’ learning in those areas.

Ik heb 't onderzoeksverslag niet heel erg goed bekeken, maar ik ga er vanuit dat het deugt. Er is een significante samenhang tussen 'breuken en staartdelen' en de resultaten voor wiskunde op de middelbare school. Dat is (misschien) opmerkelijk maar geen wereldnieuws. Maar de 'conclusie' dat we ons in het basisonderwijs vooral moeten richten op die vaardigheden begrijp ik niet helemaal. Ik zal 't proberen uit te leggen:-)

Ik vraag me nu al geruime tijd af waar die ellende van die verplichte rekentoets in het voortgezet onderwijs eigenlijk vandaan komt. Ik heb 't niet ernstig bestudeerd maar ik heb het idee dat er iets niet helemaal in de haak is...:-)

Het hoger-onderwijs roept iets (bijvoorbeeld dat studenten niet kunnen rekenen) en iedereen denkt dat ze een punt hebben. Sterker nog, er zou best wel een duidelijke samenhang kunnen zijn tussen 'rekenvaardigheid' en 'studiesucces'. De boodschap is dat studenten niet kunnen rekenen en dat het voortgezet onderwijs daar 's iets aan moet doen. Ook niet zo gek bedacht, maar klopt dat wel?

Je zou misschien nog wel kunnen stellen dat de 'tweede fase' en 'het studiehuis' ook min of meer door het hoger-onderwijs aangeslingerd zijn. Studenten zouden niet goed in staat zijn 'zelfstandig' te kunnen werken en zo, dus daar moest nodig verandering in komen. Dat dat uiteindelijk ten koste ging van een aantal andere vaardigheden had men toch wel een beetje kunnen zien aankomen.

Een aantal jaren geleden was er in het kader van aansluitproblemen toch wel een soort notie wat er zou moeten gebeuren. In het verslag van de bijeenkomst VO-HO aansluiting wiskunde 23 april 2007 kwam ik een 'wensenlijstje' tegen met ‘wat studenten wiskunde zouden moeten beheersen’:
  • redeneren
  • notaties kunnen lezen en schrijven
  • gevoel voor abstractie
  • een bepaalde werk- en studiehouding
Afbreken en dan weer opbouwen. Het blijft modderen met dat kind en het badwater. Nadruk op bepaalde vaardigheden leidt onherroepelijk tot een tekort op een ander gebied. Dat is niet handig, want zo schiet het natuurlijk op. Uiteindelijk blijft wel iedereen lekker bezig. Meer aandacht voor 'spelling' en 'rekenen' is leuk maar niet als dat dan weer ten koste gaat van iets anders.

Ik zal de komende tijd dus maar weer 's van alles gaan schrijven. See you later... calculator:-)

dinsdag 17 juni 2014

Het delen van breuken

\(\begin{array}{l} 4\frac{2}{3}:3\frac{2}{7} = \frac{{14}}{3}:\frac{{23}}{7} = \frac{{14}}{3} \times \frac{7}{{23}} = \frac{{98}}{{69}} = 1\frac{{29}}{{69}} \\ 4\frac{2}{3}:3\frac{2}{7} = \frac{{14}}{3}:\frac{{23}}{7} = \frac{{98}}{{21}}:\frac{{69}}{{21}} = \frac{{98}}{{69}} = 1\frac{{29}}{{69}} \\ 4\frac{2}{3}:3\frac{2}{7} = 14:9\frac{6}{7} = 98:69 = 1\frac{{29}}{{69}} \\ \end{array}\)

Just for fun!

zondag 15 juni 2014

Denken

"There are two ways to slide easily through life; to believe everything or to doubt everything. Both ways save us from thinking."
Alfred Korzybski | Quotes of the Day