Aanvulling

"Zo rond 1420 had de Iraanse wiskundige al-Kashi \(\pi\) tot op 16 decimalen uitgerekend en de berekening van de sinus van 1 graad door middel van de numerieke oplossing van een derdegraads vergelijking."
eindverslag geschiedenis van de wiskunde

Oppervlakte

VWO 4 wiskunde D deel 2

1. combinatoriek
2. discrete wiskunde
3. kansrekenen
4. matrices
5. discrete kansverdelingen
6. discrete dynamische modellen
7. bewijzen

Project X

Ik probeer (bijvoorbeeld in de derde klas) nog wel 's te experimenteren met eigen lesmateriaal. Een opdracht als oppervlakte van driehoeken is daar een voorbeeld van. Tot nu toe was ik daar slechts matig tevreden over.

Er is in ieder geval altijd een hobbel die je moet overwinnen:

• Leerlingen hebben niet automatisch het idee dat 'mijn opdrachten' erg relevant zijn. Willem kan van alles bedenken maar 't staat niet in het boek dus moeten wij dat dan leren? Komt het in de proef? Of is het meer voor de lol? Zitten wij daar dan op te wachten? Hoe nuttig kan dat zijn?

Een beetje frusterend is dat wel. Je denkt als je wiskunde nu 's op een andere manier aanbiedt dan leren we daar misschien meer van? Misschien leren we dan belangrijkere dingen dan als je alleen maar heel veel domme sommen moet maken? Wiskunde is vooral ook een ontdekkingsreis? Geen hapklare brokken oppervlakkigheid maar echte problemen oplossen! Denkactiviteiten! Toepassen wat je allemaal al kan en verder kijken dan je neus lang is. Het mag toch ook wel leuk zijn?:-)

Dit jaar heb ik aan het eind van het schooljaar toch het gevoel dat ik nog 's een poging moet wagen. Na 8 hoofdstukken 'open deuren' wordt het tijd voor iets anders. Doe 's gek. Doe 's iets samen. Verleg 's wat grenzen.

Ik kan het niet laten dus ik ga toch nog de laatste weken raar doen. Ik heb 't maar project X genoemd. Ik verdeel de klas in groepen, wiskunde A en wiskunde B groepen en VWO- en HAVO-leerlingen bij elkaar... Ik heb een aantal opdrachten klaar liggen en de uitwerkingen worden ingeleverd, ik beoordeel ze en de resultaten tellen mee als 'proef van hoofdstuk 9'.

Een mooi experiment dat waarschijnlijk meer vragen oproept dan het zal beantwoorden, maar wat geeft het? Als je niet verdwaald dan kom je nooit ergens. Ik ga 't maar gewoon 's doen en dan komen de vragen vanzelf.:-)

Dat doe je gewoon zo en zo...

Ik roep wel 's dat wiskunde leren iets anders is dan bijvoorbeeld aardrijkskunde of een taal leren. Hoe dat zit? Dat is nog lastig om uit te leggen. In wiskundeboeken of op rekentoetsen kan je dit soort vragen tegen komen:

Dertien tafeltennissers spelen een halve competitie. Dat betekent dat elke speler precies één keer speelt tegen elke ander speler. Hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld?

Op Wedstrijden heb ik nog 's een poging gedaan om te laten zien hoe je dat aan zou kunnen pakken. Nu is de vraag 'wat zou je nu willen dat leerlingen daarvan onthouden?'.

Ik denk dat veel leerlingen vrij snel de conclusie trekken dat je 'gewoon het kwadraat van n moet nemen en dan n er aftrekken voor een een hele compititie en dan nog moet delen door twee voor een halve competitie' en dat klopt ook wel. Zo'n aanpak leidt de volgende keer zeker tot een goed antwoord.

Je kunt dit uit je hoofd leren en de meeste leerlingen zullen daar geen moeite mee hebben. Je moet het dan wel onthouden, maar, je begrijpt al, na een aantal weken zou er zo maar verwarring kunnen ontstaan... 'Moest je eerst het kwadraat nemen en dan delen door twee?', 'Hoe zat het nu ook alweer precies?'. 't Is een leuk idee, maar niet iets dat echt blijft hangen misschien.

Je kunt je zelfs afvragen of het kunnen uitrekenen van het aantal wedstrijden nu het doel was van de lessen. Misschien was die 'competitie' wel gewoon een 'context' om telproblemen aan te pakken. Dus die hele of halve competitie kan ons eigenlijk niet veel schelen.... nee het gaat om aanpakken van een telprobleem. Maak 's een plaatje en beredeneer hoeveel wedstrijden er gespeeld worden.

Als je daar wat verder over nadenkt... Wat is eigenijk het doel van wiskundeonderwijs? Zou het aanpakken van problemen, het redeneren, e.d. niet een veel hoger goed zijn dan het kunnen oplossen van vooraf vastgestelde trivialiteiten die je (mits je over de juiste vaardigheden beschikt) een fluitje van een cent zijn...

Je meer kunnen richten op mee algemene vaardigheden die ook nog 's bredere inzetbaar zijn zou toch wel mooi zijn.:-)

Procenten

Uit de proef van hoofdstuk 2 van HAVO 4 wiskunde A:

Opgave 4

1. Voor een Cd-speler moet je €142 betalen. Dat is inclusief 21% BTW. Hoeveel BTW betaal je dan?
2. Ik heb op 1 januari 2001 een bedrag van €225 op een spaarrekening gezet. Ik krijg jaarlijks 3% rente die steeds op 1 januari wordt bijgeschreven. Bereken het tegoed op de spaarrekening op 2 januari 2012?
3. Een bedrag B wordt met 12% verhoogd. Bereken met hoeveel procent het bedrag moet afnemen om weer op het oude bedrag B uit te komen.

Resultaten

Voor deze opgave kunnen leerlingen 6 punten halen. Gemiddeld scoren mijn leerlingen 1 punt. Eén leerling scoort 6 punten, één leerling scoort 3 punten, 5 leerlingen 2 punten en één leerling 1 punt. De rest heeft geen punten.

 

Een hele paragraaf over procenten en dan zo'n resultaat? En dan te bedenken dat procenten eigenlijk voorkennis was bij hoofdstuk 1. Dit is dus niets nieuws. Dat is stof uit de tweede of derde klas. Deze leerlingen moeten vast nog een keer een rekentoets doen. Kennelijk is dat rekenen met procenten nog niet helemaal geland.:-)

 

Kortom... zo kunnen we dat niet laten. Doe iets Tom Poes. Verzin desnoods een list...:-)

• Procenten HAVO 4

Op 't verkeerde been

Soms kan je door leerlingen bij bepaalde vragen helemaal op 't verkeerde been worden gezet. Zo kwam er in WisFaq de volgende vraag binnen:

Ik begrijp niet wat ik moet doen, hoe ze aan het antwoord komen. Bij de gestreepte plekken moet een breuk te komen staan, kunt u mij daarbij helpen. Ik weet niet hoe ik moet beginnen.

      1 17
        --
        40
 
-----      --------

3   
--   ----   ----
5

1   1    1   1
-   -    -   - 
2   10   8   4

Het gaat over breuken, Je moet de breuken van 1 17/40 steeds kleiner maken totdat je de breuken 1/2 1/10 1/8 1/4 krijgt. Ik snap niet hoe dat moet.

Dus ik heb wat zitten prutsen... Iets met stambreuken? Nee dat was het ook niet...

Uiteindelijk is er wel iemand uitgekomen. Een plaatje als hieronder had misschien wel enorm kunnen helpen:



Dat soort plaatjes heb ik toch meer gezien:-)

Basisvaardigheden algebra

Ik heb in wiskundeleraar voor de wiskast een leerroute gemaakt 'Basisvaardigheden algebra'. Deze bijspijkerleerroute hoort bij hoofdstuk 3 van klas 2 'rekenen met letters':

• variabelen
• breuken
• haakjes
• machten
• zelftoets

Ik heb me daarvoor laten inspireren door 'rekenen met variabelen' uit de stercollectie van VO-content. De pagina's in de leerroute bevatten de uitleg en de voorbeelden. Elke pagina wordt afgesloren met opdrachten in DWO, waarbij ik grotendeels de opgaven zelf heb gemaakt of aangepast.



Op een pagina kan een leerling dan steeds aangeven dat de opdracht gedaan is en dat de opdracht kan worden nagekeken. Ik kan dan de opdrachten goed- of afkeuren en van feedback voorzien.



De leerroute is nu bijna af. Ik moet nog iets verzinnen als 'zelftoets'. Ik twijfel nog om dat in DWO te zetten of op een andere manier te toetsen. Op papier bijvoorbeeld...:-)

Onze 'wiskundeomgeving' is nogal versnipperd. Eigenlijk zouden me Moodle moeten gebruiken, maar dat is niet handig, we hebben DWO tot onze beschikking (zie ook ICTklas), we kunnen gebruik maken van de voorbeelden uit de stercollectie van VO-content en verder heb ik nog wat 'dingen' op wiswijzer staan, duizende vragen in WisFaq en verder kan je alles gebruiken wat je maar tegen komt op het Internet.

Deze leerroute is misschien dan een voorbeeld hoe je de snippers op één plek weer een beetje aan elkaar geplakt krijgt. Dat is nog niet zo eenvoudig. Dat moet beter kunnen. Nu nog kijken of het werkt...

Sleutelopgave

Vandaag een aantal vragen gehad over opgave 13 uit VWO 3 deel 1:

Vraag a. is standaard, maar belangrijk. Daar hoort natuurlijk een plaatje bij. Vraag b. is aardig omdat je (als je wilt) kan laten zien dat haakjes schrijven belangrijk is. Hier hoort natuurlijk ook een plaatje bij.

Maar er zijn, zoals gewoonlijk, vele wegen die naar Rome leiden.

De leukste opgave

De leukste opgave van vandaag was deze opgave in klas 2:


Dat is voor de meeste leerlingen toch even wennen. Hoe zit dat? Hoe moet dat nou? Hoe kan je dat weten? Help, ik heb onvoldoende informatie!

Ik vind het handig om, als dit even te moeilijk is, concrete getallen te nemen. Dan zijn de vragen gemakkelijk. Maar als je 't met getallen kunt dan kan je dat ook met variabelen, want dat zijn tenslotte ook getallen. Wat je met variabelen doet zijn dezelfde bewerkingen als met getallen.

Soms duurt het even, maar meestal valt het 'kwartje' wel. 't Ziet er gewoon 'stom' uit, maar het went.:-)

Wat vind je dan wel een goede wiskundemethode?

Eén van de vragen die mij vandaag werd toegeworpen was wat ik dan wel een goede wiskundemethode vind... Ik heb maar iets geroepen dat ik het allemaal niks vind. Hoe bescheiden kan je zijn?:-)

Ik heb denk ik de afgelopen 23 jaar met heel wat verschillende methoden les gegeven. In ieder geval 'Moderne Wiskunde', 'Netwerk', 'Getal en Ruimte' en nog zo wat... Ze hebben allemaal voor- en nadelen. Echt verheffend is het niet. Maar je bent leraar of niet, dus doe je wat je kunt en ik denk nog steeds hoe slechter het boek hoe beter.:-)

Moderne wiskunde
Inhoudelijk en qua aanpak vind ik Moderne Wiskunde een prima methode. Leerlingen krijgen ruimte om zelf 'dingen te ontdekken', ze worden uitgedaagd, het is speels en de auteurs zijn niet bang om 'zijpaden' te bewandelen. Als docent heb je dan nog een hoop te doen om het allemaal te structuren, nader toe te lichten en af en toe 's wat dingen op 'een rijtje' te zetten. Heel erg geschikt voor een klassikale aanpak. Lekker praten over wiskunde...:-)

Netwerk
Op mijn oude schooltje zijn we op een bepaald moment overgestapt van Moderne Wiskunde naar Netwerk. De leerlingen waren blij. Eindelijk duidelijkheid. De leerstof 'fijn' opgedeeld in hapklare en vooral makkelijk verteerbare brokken. 't Is jammer dat hapklare brokken nu niet direct leiden tot culinair genot, maar voor leerlingen is het wel fijn om gestructureerd in kleine stappen het voedsel tot zich te nemen. Als docent moet je dan veel investeren in grote lijnen, algemene vaardigheden, diepere bedoeling en nog zo wat.

Getal en ruimte
Getal en ruimte vind ik de mallotigste methode. Er staan echt onzinnige dingen in, wiskundige onjuistheden, wilde fantasieën en andere volstrekt onwenselijke didactiek. Doe dit, doe dat, dan komt het goed. Ze doen net alsof wiskunde een soort grote trukendoos is. Als je nu maar op het goede moment de juiste truuk gebruikt dan kom je er wel. Maar kennelijk sluit dat heel goed aan bij de 'hersenactiviteit' van de doelgroep. De methode is heel geschikt om zelfstandig aan te werken. Grappig genoeg leren ze er ook nog iets van. Als docent moet je dan af en toe nog wel 's iets roepen en aansturen op het vergroten van begrip, maar ook dat gaat eigenlijk vaak nog heel goed ook.

Conclusie
Ik denk dat we 't er maar mee moeten doen. Eerlijk gezegd is dat nu toe nog altijd gelukt. Het maakt eigenlijk niet zo veel uit. De getallen, de functies, de achterliggende structuren zijn toch steeds hetzelfde. Daar hebben we 't dan over... Mooi!:-)

Groeifactoren

Dat vind ik wel aardig van Getal & Ruimte. Een bedrag neemt toe met 7%. Dat bedrag is dan 100%+7%=107%, dus de groeifactor is 1,07. Een bedrag neemt af met 35%. Dat is dan 100%-35%=65%. De groeifactor is 0,65. Dat houden we er in...:-)
Een levenlang leren? Dat is ook een soort van levenslang.:-)