Ergens klopt er iets niet...:-)

Als je zegt 'als je hard studeert dan haal je het tentamen' en je haalt het tentamen niet dan weet je dat je niet hard gestudeerd hebt, maar als je het tentamen wel haalt dan weet je nog niks.:-)

Logica

Wat lees ik nu toch allemaal?

Socrates is sterfelijk
Alle zoogdieren zijn warmbloedig
Een paard is een zoogdier
Alle mensen zijn sterfelijk
Bobbie is een hond
Een paard is warmbloedig
Geen hond is een vogel

Ik denk dat Socrates een dood paard is maar dat weet ik niet zeker. Ergens klopt er iets niet:-)

't Is gewoon een truuk...

Naar aanleiding van dit bericht:

Er ging zo maar iemand roepen:

Zie en huiver: wiskunde zonder enig begrip en inzicht

Is dat zo? Of is dit een voorbarige conclusie?

1e voorbeeld:
(a+2)(a-5)=a(a-5)+2(a-5)=a²-5a+2a-10=a²-3a-10

2e voorbeeld:
(a-2)(a-5)=a(a-5)-2(a-5)=a²-5a-2a+10=a²-7a+10

Mooier kan je 't niet verzinnen:-)

Maar is dat nu heel anders dan Hoe werk je dubbele haakjes weg? Dat lijkt me niet...



Wat voor de een een truuk is is voor de ander volstrekt helder. Als je denkt dat het een truuk is dan begrijp je 'm gewoon niet. 't Is geen truuk. Zo is de staartdeling ook geen truuk. Maar 'lijnentrekkers' noemen dat een truuk omdat ze niet echt begrijpen hoe het in elkaar zit.



Maar wat voor een 'onzin' iemand ook roept er is altijd nog wel iemand die het er helemaal mee eens is. Lijntrekken als modetrend? Treuriger kan het bijna niet worden...

Gebakken lucht

Wiskundige denkactiviteiten gaan het helemaal worden. Dat is niet echt nieuw, denk ik. 't Was toch al een tijdje gebruikelijk om bij wiskunde vooral ook na te denken.

• Wat zijn 'wiskundige denkactiviteiten' eigenlijk?

Ik heb onlangs in WisFaq een vraag beantwoord over raadselachtige rechthoeken. Ik heb me daar moedig door heen geworsteld en ik was nogal trots op mezelf. Dat is zo'n beetje het A-team gevoel: 'I love it when a plan comes together'.

Maar eigenlijk is het een beetje gebakken lucht. Als je er iets verder over nadenkt. Je hebt een vierkant met een omgeschreven cirkel. De verhouding tussen de oppervlakte van het vierkant en de oppervlakte van het omgeschreven cirkel ligt vast. Als je het vierkant verdeelt in rechthoeken dan is de verhouding tussen die oppervlaktes natuurlijk niet meer hetzelfde. De totale oppervlakten kunnen dan natuurlijk nooit hetzelfde zijn als bij het grote vierkant. Het kan niet anders zijn dat die rechthoekjes dan wel vierkantjes moeten zijn.

Het 'wiskundige bewijs' vind ik wel overtuigend, maar 't leidt niet noodzakelijkerwijs tot meer inzicht. Om helemaal te doorgronden hoe de 'dingen' in elkaar steken moet je er over nadenken. Dat is dan soms iets anders dan formules maken, vergelijkingen oplossen e.d. Alhoewel?

Ik geloof dat de kunst is om na te denken over abstracties. Daarna kan je vervolgens dat zeker in de taal van de wiskunde beschrijven, uitwerken, bewijzen... en nog zo wat. Zodat iedereen overtuigd is van je gelijk...:-)

Wiskunde is cool:-)

Leer nadenken

Als ik in het kort moet uitleggen waar het nu om gaat in het onderwijs geef ik altijd (enigszins gekscherend) het rijtje:

• Leer lezen
• Leer rekenen
• Leer nadenken

Vooral over dat laatste wil ik het in deze weblogpost 's hebben.

Eén van mijn eerste herinneringen aan de colleges wetenschapsfilosofie gaan over falsifieerbaarheid van beweringen. Dat is inmiddels lang geleden maar ik heb er wel een aantal handige 'denkdingen' aan over gehouden. Dat is 'omkeerbaarheid' en 'zelfverwijzing'.

Omkeerbaarheid
Soms hoor je mensen uitspraken doen waarvan je het gevoel hebt dat er iets niet aan klopt. Het kan soms moeilijk zijn om precies te achterhalen waar dat dan in zit. Vaak kan je door de stelling om te keren meer inzicht krijgen in de onzinnigheid van de uitspraak.

Zelfverwijzing
Een ander 'denkding' is de zelfverwijzing. Op dit weblog verzamel ik daar allerlei voorbeelden van. Oog hebben voor zelfverwijzing is amusant, maar er zit wel degelijk een serieuze diepe gedachte achter.

Kortom
Als je nu het maximale uit het onderwijs wilt halen leer dan nadenken en ja, dan bedoel ik inderdaad vooral ook logisch denken. Er zit echt niemand te wachten op mensen die onlogisch denken, geloof me...:-)

Twitterlogica

Bewijzen of niet...?

"Incidentally, when we’re faced with a “prove or disprove,” we’re usually better off trying first to disprove with a counterexample, for two reasons: A disproof is potentially easier (we just need one counterexample); and nit-picking arouses our creative juices. Even if the given assertion is true, out search for a counterexample often leads us to a proof, as soon as we see why  a counterexample is impossible. Besides, it’s healthy to be skeptical."
bron

De waarheid en niets dan de waarheid

Dat is pas handig: Truth Table Generator.

Of zoiets:

Handig hoor...:-)

E-learning, communities, studygroups,...

Ik ben al in week 2 van de cursus 'Introduction to Mathematical Thinking'.

The key to success in school math is to learn to think inside-the-box. In contrast, a key feature of mathematical thinking is thinking outside-the-box – a valuable ability in today’s world.

In de #MOOC doe je oefeningen en opdrachten. Sommige opdrachten tellen mee voor de beoordeling. In principe is er geen docent die de oefeningen nakijkt of zelfs maar de antwoorden geeft. Het idee is dat de studenten onderling de antwoorden bespreken en zo gaandeweg de stof onder de knie krijgt. So far so good.

In deze cursus is er een forum en er is zelfs een 'studygroup' in het Nederlands. Dat praat gemakkelijker. Aan de hand van de antwoorden wordt er zo van alles heen en weer gepraat over goed en fout. Wat de bedoeling is en nog zo wat.

Keith Devlin karakteriseert 'schoolwiskunde' als het houden aan de juiste procedures, het volgen van stappenplannen, op het juiste moment de juiste rekenregels hanteren en zoveel mogelijk de gevraagde oplossingen geven. Precies zoals dat van je verwacht wordt. Daar is niets mis mee en maakt (ook) deel uit van elke wiskundige activiteit. Gewoon netjes werken en geen rare dingen doen. Maar als je echt iets met wiskunde wilt dan zul je moeten leren zelf dingen te bedenken, uit te zoeken, te doorgronden...

Het is me al 's eerder opgevallen dat in e-learning communities of studiegroepen er meestal weinig ruimte is voor reflecties over de de manier waarop zoiets gaat. Men wisselt natuurlijk ideeën uit, wijst elkaar op onvolkomendheden, draagt bij aan de inhoud enz. maar over het proces zelf is men meestal minder expliciet.

Soms is dat wel nodig. Als je 'samen' dingen wilt bespreken of zelfs 'samen' wilt leren dan moet dat wel binnen de juiste sfeer plaatsvinden. Er moet voldoende ruimte zijn om te doen wat nodig is.

Als je nu iets wilt met 'wiskundig denken' dan zou je toch juist open moeten staan voor allerlei onzekerheden. De voorrangsregels voor logische operatoren is in wiskundige zin niet eenduidig vastgelegd. Boeken doen dat wel om het schrijfwerk te beperken. Ook bij programeertalen kom ze wel tegen, maar ook daar is geen uniformiteit. Verwijzen naar Wikipedia om daarmee de 'regels' vast te leggen is geen wiskunde. Hoe belezen kan je zijn?:-)

Je kunt op fora van alles tegen komen: Roeptoeters, vagebonden, TA's, prietpraters, puntneuzen en mensen die niet participeren en alles wat daar tussen zit. Is dat erg? Nee, zo werkt dat nu eenmaal. De vraag is alleen of ik daar dan deel van uit wil maken...:-)

Eén van de relevante vragen uit WisFaq van deze week is hebben sommige logische operatoren voorrang? Een bescheiden antwoord van een deskundige is misschien veel waard...:-)

Voor mij persoonlijk heb ik, denk ik, geen behoefte aan een studiegroepje. Evidente onzin wordt maar gewoon gelaten voor wat het is. Kennelijk heeft niemand de moed om 'eerlijk' te zijn. Als daarnaast relevante vragen die worden opgeworpen worden zo snel mogelijk onder de tafel moeten worden geveegd dan haak ik af. Ik vind het best, maar dan ga ik toch liever zelf op zoek naar mijn eigen haakjes:-)

Maar dat laatste is natuurlijk ook iets wat hoort bij 'wiskundig denken'. Dat je niet laat foppen door de verpakking, maar kijkt naar de inhoud. Het onbenul is ook altijd zo zeker van zichzelf...:-)

Nou we zien wel. Op naar week 3. Ik vind het leuk...:-)

Wie is de moordenaar?

Uit de 2000 Indiana College Mathematics Competition (via Futility Closet) en dan vrij vertaald naar het Nederlands:

Vier verdachten, waarvan één een moord begaan heeft, doen, bij ondervraging, onderstaande uitspraken. Als er slechts één de waarheid spreekt, wie is dan de moordenaar?

Arie: Bert heeft het gedaan.
Bert: Dik heeft het gedaan.
Carla: ik heb het niet gedaan.
Dik: Bert liegt.

Komt me bekend voor:-)

Protocol Social Media

Eén van de dingen die misschien in het 'protocol social media' opgenomen zou moeten worden is een handreiking 'je mening geven'. Ik vind vrijheid van meningsuiting erg belangrijk. Iedereen mag ook vinden wat ie wil.

Een eerste aanzet tot een handreiking 'mening ventileren' zou dan vragen moeten bevatten als 'denk je dat je voldoende afweet van het onderwerp om een mening te mogen hebben?', 'denk je dat er iemand op deze wereld (of daarbuiten) geinteresseerd is in jouw mening?' of 'weet je zeker dat jouw mening ergens op slaat?'. Dat soort vragen. Heb je één of meerdere van deze vragen met 'nee' beantwoord denk dan nog 's na of je je mening wel moet ventileren. Zoiets:-)

Ik geloof dat Frank Zappa ooit 's gezegd heeft dat niet waterstof het meest voorkomende element is in het universum maar 'stupidity'. Dat klopt wel, denk ik. Ik denk dat 'bescheidenheid' een schaars goed aan het worden is. Dat zie je niet vaak meer. Maar dat is dan slechts mijn bescheiden mening natuurlijk.:-)

Gemiddeld is goed genoeg

Hoeveel onzin kan je in één zin opschrijven? Dit schurkt er zo'n beetje tegenaan. Als je 't oppervlakkig bekijkt lijkt het wel aardig:

"Wiskunde is het vak voor wie graag logisch en helder redeneert, graag de uitdaging aangaat van analytische vraagstukken en niet bang is om abstract te denken."

Zoiets! Mensen die onlogisch en vaag willen redeneren kunnen beter een ander vak gaan doen. Wat zijn analytische vraagstukken eigenlijk precies? Abstract denken? Bestaat dat wel? Nou misschien wel... Ik geloof dat ik liever zou kiezen voor logisch en helder denken en abstract redeneren. Dus 'gemiddeld' klopt het toch wel:-))
Maar ja wie schrijft er nu zoiets...!?:-)

Eigenaardig

Mijn tiny buddha twitterde vandaag 'let go of control: how to learn the art of surrender'.

Surrender literally means to stop fighting. Stop fighting with yourself. Stop fighting the universe and the natural flow of things. Stop resisting and pushing against reality.

...en zo is dat maar net. Ik ga dat maar 's in de praktijk brengen. Kijken wat er dan gebeurt...:-)

Ter overdenking

Stel je nu eens voor dat je iets uitvindt waar je rijk van kan worden. Je weet wel 'de beurskoersen voorspellen', 'het casino uitknijpen', dat soort grappen... Dat hoor je wel 's. Wat ga je dan doen? Gewoon rijk worden, stoppen met werken en leuke dingen gaan doen? Of ga je proberen je uitvinding te verkopen?
Denk daar maar 's over na...:-)

Maak je niet druk?

Als men hem een vinger geeft, neemt hij de hele hand.

Regelmatig lees ik dingen of hoor ik mensen dingen zeggen waar ik me druk om zou kunnen en moeten maken. Zoveel onbegrip, onwetendheid en onvermogen, dat is toch erg! Maar je moet je over dat soort dingen natuurlijk niet druk maken. Er is ook geen beginnen aan. C. zegt ook altijd 'maak je niet druk'. Ik probeer dat wel, maar dat lukt niet altijd. Je kunt je niet minder druk maken als je je wel druk maakt door te denken dat je je niet druk moet maken. Helaas!

Wat dan wel?

Ik probeer tegenwoordig vooral te kijken of er iets van waarde te ontdekken is. Kan ik er iets van leren? Wat betekent dat precies? Welke 'geheime boodschap' gaat er achter schuil? Wat zijn de achterliggende 'gedachten'? Dat soort dingen!

Misschien is het daarom juist wel goed om je druk te maken over 'dingen'. Daar kan je mogelijkerwijs iets van leren! Uithollen van binnenuit! Zwijgen kan je in alle talen maar iets zinnig zeggen, dat is lastig... zo te zien!:-)

Mijn idee? Het is nooit zeker hoe 't precies zit. Ben ik goed bezig? Zou die ander gelijk kunnen hebben? Heb ik iets gemist? Doe ik iets fout? Ga er niet van uit dat je gelijk hebt. Laat een ander in z'n waarde! Ook al vind je 't niks...

Dat zouden meer mensen moeten doen!:-))

She's a witch

Dat is logisch

Ik denk dat alleen in de wiskunde alles logisch is. Het zijn (als het ware) de spelregels van de wiskunde. Daarbuiten (in de werkelijke wereld zullen we maar zeggen) is niet alles altijd even logisch. Soms lees je wel 's wat over 'hoe de dingen in elkaar steken' dat zo logisch klinkt dat het bijna niet kan kloppen!

Het omgekeerde is overigens niet waar! Maar 't komt natuurlijk allemaal door de implicatie. De uitspraak A->B is alleen niet waar als A waar is en B niet waar. Uitgaande van onzin (A) leidt de implicatie (A->B) ongeacht of uitkomst (B) nu waar is of niet waar tot ware uitspraken.

Je kunt dan wel allerlei dingen verzinnen die onzin zijn en daar dan een paar mooie conclusies aan verbinden maar dat gaat niet werken. Sociaal constructivisme is daar wel een mooi voorbeeld van.

Je moet toch iemand de schuld geven...

"SCHIPHOL - Een eend is vermoedelijk de oorzaak van de zware beschadigingen aan de bovenleiding van de Schipholtunnel. Dit heeft een woordvoerster van spoorbeheerder ProRail laten weten. Het onderzoek naar de oorzaak is nog niet afgerond, maar veel wijst in de richting van een eend."
bron

Lerarentekort

"Het langverwachte tekort aan leraren is er nog steeds niet. Maar het komt er over vijf jaar aan, voorspelt het ministerie van OCW. In 2010 zou het tekort aan leraren voelbaar worden, dachten experts vier jaar geleden. Maar leraren gaan tegenwoordig iets later met pensioen en ook onbevoegde leraren mogen alvast lesgeven als het niet anders kan. Daardoor is het tekort nu nog niet zo hevig."
bron

Dat is te moeilijk

Ik zie, ik zie, wat jij niet ziet en 't is een vierkant.

Ok, ik geef het op! Ik zie wel 12 parallellogrammen en nog 9 ruiten. Dat is dan samen wel 21 vierhoeken, maar vierkanten heb ik niet kunnen ontdekken.

Zelfs als je 't ziet als een ruimtelijk figuur is het nog lastig. Dat lijkt toch niet erg gelukt dan, maar misschien moet je dat (heel) ruim zien:-)

Dat kan toch allemaal maar. Op grooveshark.com kan je voor $3 per maand van de reklame af. Ik geloof dat ze gisteren er ook een 1-april-grap hadden over audioreklame tussen de nummers door. Ik schrok al...:-)

Reklame!? De een nog dommer dan de ander en je wordt er werkelijk mee doodgegooid. Maar ja, kennelijk is het nodig en waarschijnlijk zal het wel zin hebben... Misschien? Nee... misschien een beetje, maar misschien ook wel niet.