De waarheid ligt op een hoger plan

De waarheid ligt niet in het midden. Het ligt op een hoger plan. Het probleem is dat de mensen van de beide zijden van de loopgraaf op deze manier de voortuitgang hinderen...

• Twitter

Meestal is er dan wel ergens iemand die dan wil weten wat dat 'hogere plan' dan precies is. Tja, als ik dat wist dan zat ik hier niet, maar ik heb wel enige vermoedens...:-)

...en de ideeën zijn te koop...:-)

Verdwaald

"If we don't get lost, we'll never find a new route"
Joan Littlewood

Bovenstaand citaat is één van mijn favoriete citaten. Je weet maar nooit hoe een koe een haas vangt. In het onderwijs moet je niet bang zijn om te experimenteren en andere dingen uit te proberen. In het onderwijs geldt maar één wetmatigheid en dat is dat er geen wetmatigheden zijn...:-)

De kerncompetentie van een docent is om naar eer en geweten te doen wat nodig is en als dat niet werkt de dingen anders aan te pakken, je moet iets veranderen, je verzint een list, je probeert andere dingen uit. Ga niet bij de pakken neerzitten en maak een plan. Toets alles en behoud het goede. Herhaal dit proces en ontdek nieuwe wegen...:-)

• Begrip en inzicht

---

• Werkplan

Pseudocontext?

Op WisFaq stond een vraag over de stelling van Pythagoras:

• Stelling van Pythagoras

In een didactische context is dit een realistische context omdat je (volgens Drijvers c.s.) er iets bij voor kan stellen. Als toepassing lijkt het nergens op, maar dat zie je wel vaker. Die heks met haar warme en koude blokjes geeft ook niet direct een goed beeld van de werkelijkheid, maar kan als didactisch hulpmiddel toch werken...?!

• 4. is er verschil tussen contexten en toepassingen?

 Af en toe moet je iets zinnig roepen...:-)

George Dantzig

During my first year at Berkeley I arrived late one day to one of Neyman 's classes. On the blackboard were two problems which I assumed had been assigned for homework. I copied them down. A few days later I apologized to Neyman for taking so long to do the homework - the problems seemed to be a little harder to do than usual. I asked him if he still wanted the work. He told me to throw it on his desk. I did so reluctantly because his desk was covered with such a heap of papers that I feared my homework would be lost there forever.

About six weeks later, one Sunday morning about eight o'clock, Anne and I were awakened by someone banging on our front door. It was Neyman . He rushed in with papers in hand, all excited: "I've just written an introduction to one of your papers. Read it so I can send it out right away for publication." For a minute I had no idea what he was talking about. To make a long story short, the problems on the blackboard which I had solved thinking they were homework were in fact two famous unsolved problems in statistics. That was the first inkling I had that there was anything special about them.

bron

Lantaarnpaal

Gepubliceerd op 6/05/2009 15:21:00 - Lantaarnpaal

Vroeger had je zo'n mopje van Sam en Moos. Dat Moos op een avond Sam tegen komt die kennelijk z'n horloge verloren is en in 't licht van een lantaarnpaal aan het zoeken is. 'Waar ben je die dan verloren?' waarop Sam antwoord 'Daarginds maar daar zie ik niks'. Zoiets...

Ik ga een nieuwe categorie toevoegen aan dit weblog. Dat wordt de categorie lantaarnpaal. De aanleiding daarvoor is dat het dat er allerlei dingen en maatregelen bedacht worden die eigenlijk nergens over gaan, zo van we weten niet precies wat we er mee aan moeten maar we moeten wel iets doen.  Meestal wordt aan dat soort 'dingen' dan ook nog wel gehoor gegeven en gaan in een keer allerlei mensen zich er mee bezig houden.

Meestal zijn dat dingen die (als je goed kijkt)  eigenlijk nergens over gaan. Het zijn cosmetische ingrepen, logistieke maatregelen, veel papier maar weinig actie. Waar gaat het dan wel om? Het gaat natuurlijk om de grote lijnen, de onderlinge samenhang en de praktische uitvoering. Ondanks alle plannen gaat het toch om de uitvoering? Meestal tast men in het duister, maar in 't licht van een lantaarnpaal kan je dan tenminste iets zien. Ook al moet je dan vaststellen dat het er niet is...

De regenmeter

Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten

De doelen van wiskundeonderwijs zijn dat leerlingen in hun langetermijngeheugen een samenhangend kennisbestand van wiskundige begrippen en vaardigheden verwerven en in staat zijn hun wiskundige kennis en vaardigheden toe te passen in situaties die enig eigen denken vereisen.
SLO | Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten

Wiskundige denkactiviteiten

"WDAs spelen een belangrijke rol in de nieuwe examenprogramma’s wiskunde van havo en vwo, en ook de diagnostische tussentijdse toets lijkt een denkactieve invulling te krijgen. De centrale praktijkvragen zijn welke kenmerken een wiskundeopdracht denkactief maken en op welke manieren een wiskundedocent de denkactieve mogelijkheden van een opdracht in de les kan benutten."

• http://www.nro.nl/kb/405-14-502/

Project X

Ik probeer (bijvoorbeeld in de derde klas) nog wel 's te experimenteren met eigen lesmateriaal. Een opdracht als oppervlakte van driehoeken is daar een voorbeeld van. Tot nu toe was ik daar slechts matig tevreden over.

Er is in ieder geval altijd een hobbel die je moet overwinnen:

• Leerlingen hebben niet automatisch het idee dat 'mijn opdrachten' erg relevant zijn. Willem kan van alles bedenken maar 't staat niet in het boek dus moeten wij dat dan leren? Komt het in de proef? Of is het meer voor de lol? Zitten wij daar dan op te wachten? Hoe nuttig kan dat zijn?

Een beetje frusterend is dat wel. Je denkt als je wiskunde nu 's op een andere manier aanbiedt dan leren we daar misschien meer van? Misschien leren we dan belangrijkere dingen dan als je alleen maar heel veel domme sommen moet maken? Wiskunde is vooral ook een ontdekkingsreis? Geen hapklare brokken oppervlakkigheid maar echte problemen oplossen! Denkactiviteiten! Toepassen wat je allemaal al kan en verder kijken dan je neus lang is. Het mag toch ook wel leuk zijn?:-)

Dit jaar heb ik aan het eind van het schooljaar toch het gevoel dat ik nog 's een poging moet wagen. Na 8 hoofdstukken 'open deuren' wordt het tijd voor iets anders. Doe 's gek. Doe 's iets samen. Verleg 's wat grenzen.

Ik kan het niet laten dus ik ga toch nog de laatste weken raar doen. Ik heb 't maar project X genoemd. Ik verdeel de klas in groepen, wiskunde A en wiskunde B groepen en VWO- en HAVO-leerlingen bij elkaar... Ik heb een aantal opdrachten klaar liggen en de uitwerkingen worden ingeleverd, ik beoordeel ze en de resultaten tellen mee als 'proef van hoofdstuk 9'.

Een mooi experiment dat waarschijnlijk meer vragen oproept dan het zal beantwoorden, maar wat geeft het? Als je niet verdwaald dan kom je nooit ergens. Ik ga 't maar gewoon 's doen en dan komen de vragen vanzelf.:-)

Eén groot misverstand

Uit 'Early Predictors of High School Mathematics Achievement':

Summary: Elementary school students’ knowledge of fractions and division uniquely predicts their high school mathematics achievement, even after controlling for a wide range of relevant variables, suggesting that efforts to improve mathematics education should focus on improving students’ learning in those areas.

Ik heb 't onderzoeksverslag niet heel erg goed bekeken, maar ik ga er vanuit dat het deugt. Er is een significante samenhang tussen 'breuken en staartdelen' en de resultaten voor wiskunde op de middelbare school. Dat is (misschien) opmerkelijk maar geen wereldnieuws. Maar de 'conclusie' dat we ons in het basisonderwijs vooral moeten richten op die vaardigheden begrijp ik niet helemaal. Ik zal 't proberen uit te leggen:-)

Ik vraag me nu al geruime tijd af waar die ellende van die verplichte rekentoets in het voortgezet onderwijs eigenlijk vandaan komt. Ik heb 't niet ernstig bestudeerd maar ik heb het idee dat er iets niet helemaal in de haak is...:-)

Het hoger-onderwijs roept iets (bijvoorbeeld dat studenten niet kunnen rekenen) en iedereen denkt dat ze een punt hebben. Sterker nog, er zou best wel een duidelijke samenhang kunnen zijn tussen 'rekenvaardigheid' en 'studiesucces'. De boodschap is dat studenten niet kunnen rekenen en dat het voortgezet onderwijs daar 's iets aan moet doen. Ook niet zo gek bedacht, maar klopt dat wel?

Je zou misschien nog wel kunnen stellen dat de 'tweede fase' en 'het studiehuis' ook min of meer door het hoger-onderwijs aangeslingerd zijn. Studenten zouden niet goed in staat zijn 'zelfstandig' te kunnen werken en zo, dus daar moest nodig verandering in komen. Dat dat uiteindelijk ten koste ging van een aantal andere vaardigheden had men toch wel een beetje kunnen zien aankomen.

Een aantal jaren geleden was er in het kader van aansluitproblemen toch wel een soort notie wat er zou moeten gebeuren. In het verslag van de bijeenkomst VO-HO aansluiting wiskunde 23 april 2007 kwam ik een 'wensenlijstje' tegen met ‘wat studenten wiskunde zouden moeten beheersen’:

• redeneren
• notaties kunnen lezen en schrijven
• gevoel voor abstractie
• een bepaalde werk- en studiehouding

Afbreken en dan weer opbouwen. Het blijft modderen met dat kind en het badwater. Nadruk op bepaalde vaardigheden leidt onherroepelijk tot een tekort op een ander gebied. Dat is niet handig, want zo schiet het natuurlijk op. Uiteindelijk blijft wel iedereen lekker bezig. Meer aandacht voor 'spelling' en 'rekenen' is leuk maar niet als dat dan weer ten koste gaat van iets anders.

Ik zal de komende tijd dus maar weer 's van alles gaan schrijven. See you later... calculator:-)

Leraar van de 21ste eeuw

"Heeft de leraar ook nog iets in te brengen?" - het antwoord is nee... en dan kunnen we nu weer fijn sommen maken....:-)
#hetlevengaatdoor

De richting is bepaald, de sturing centraal en de snelheid hoog. Wolken gebakken lucht of bergen bevroren water?
PO-raad en VO-raad gaan vraag naar leermiddelen sturen

Money, money, money...:-)
Aan het werk, luie rotblokken...:-)
Eindelijk wordt er 's serieus werk gemaakt van het verspillen van geld dat bedoeld is voor het onderwijs. Is dat beleid of is er over nagedacht?

Wat bedoelen ze toch met... denkactiviteiten?

"Het belangrijkste kenmerk van de nieuwe 2015-programma’s is naar mijn idee de nadruk op de beheersing van algebraïsche (basis)vaardigheden. Dit punt heeft in de discussies binnen en buiten cTWO steeds centraal gestaan.

Maar tegelijkertijd is naar voren gebracht dat wiskunde meer is dan algebraïsche vaardigheid en dat de doelen van het wiskundeonderwijs dan ook verder reiken.

Om ook deze laatste stem recht te doen en daarmee de onderwijsvernieuwing in balans te brengen, is het idee gegroeid om denkactiviteiten sterker onder de aandacht te brengen."

• Wat bedoelen ze toch met... denkactiviteiten?

Maximale oppervlakte gelijkbenige driehoek

Gegeven is een gelijkbenige driehoek met basis 'x' de 'gelijke' zijden zijn 15. Voor welke 'x' is de oppervlakte maximaal?

Een voor de hand liggende methode is om de oppervlakte van de driehoek uit te drukken in x, dus te schrijven als een functie van x. Deze functie kan je dan differentieren en zo de (eventuele) waarde van 'x' bepalen van het maximum. Die functie ziet er dan bijvoorbeeld zo uit:

\(
\Large O(x) = \frac{1}{4}x\sqrt {900 - x^2 }
\)

Dat is nog een lekker werkje, maar er is een veel 'eenvoudiger' oplossing.

Leerstijlen maar dan anders

Er begint zich langzamerhand een beeld te vormen van leerstijlen. Dat zijn dan niet de gebruikelijke leerstijlen, want die zijn onzin. Nee, het is een alternatief, een antithese, een tegengeluid...

Voorlopig houd ik het op:

• de dienstweigeraar
• de ontdekkingsreiziger
• de lijnentrekker
• de denker

Ik moet dat nog een beetje uitwerken, maar dat komt dan nog... wie weet wat we allemaal nog ontdekken.:-)

Een hek van 100 meter

Op WisFaq kan je dit soort vragen tegenkomen:

Ik heb een hek van 100 meter en ik moet een zo groot mogelijk rechthoekig stuk omheinen, maar ik heb een schuur van 12 meter en daar hoeft geen hek te komen. Het stuk naast de schuur noem ik x. Hoe moet ik het grootst mogelijke oppervlakte berekenen met behulp van differentieren?

De toevoeging 'met behulp van differentieren' lijkt me een oplossing als gegeven wel te rechtvaardigen, maar dat is niet echt de handigste manier om het aan te pakken.

De grootst mogelijke oppervlakte van een rechthoek bij een gegeven omtrek krijg je natuurlijk bij een vierkant. De omtrek is 112, dus de zijde van dat vierkant is \(\frac{112}{4}\)=28. Neem x=16. Klaar!

De vraag is dan: wat wil je leerlingen leren? Dat ze formules opstellen, kunnen differentieren, dingen kunnen uitwerken? Of wil je ze leren 'nadenken' en op zoek gaan naar 'algemene principes' en 'wetmatigheden'? Dat ze terughoudend en bedachtzaam zijn en niet 'meteen gaan rekenen'?

Het antwoord is: ja...:-)

We’ll need new kinds of maths skills in the future – and new educational practices

"The nature of the mathematical skills required from competent citizens is changing. Gone are the days of inertly applying and performing standard calculations. The mathematical minds of the future will need to understand how different economic, social, technological and work-related processes can be mathematically represented or modelled."
bron

Gebakken lucht

Wiskundige denkactiviteiten gaan het helemaal worden. Dat is niet echt nieuw, denk ik. 't Was toch al een tijdje gebruikelijk om bij wiskunde vooral ook na te denken.

• Wat zijn 'wiskundige denkactiviteiten' eigenlijk?

Ik heb onlangs in WisFaq een vraag beantwoord over raadselachtige rechthoeken. Ik heb me daar moedig door heen geworsteld en ik was nogal trots op mezelf. Dat is zo'n beetje het A-team gevoel: 'I love it when a plan comes together'.

Maar eigenlijk is het een beetje gebakken lucht. Als je er iets verder over nadenkt. Je hebt een vierkant met een omgeschreven cirkel. De verhouding tussen de oppervlakte van het vierkant en de oppervlakte van het omgeschreven cirkel ligt vast. Als je het vierkant verdeelt in rechthoeken dan is de verhouding tussen die oppervlaktes natuurlijk niet meer hetzelfde. De totale oppervlakten kunnen dan natuurlijk nooit hetzelfde zijn als bij het grote vierkant. Het kan niet anders zijn dat die rechthoekjes dan wel vierkantjes moeten zijn.

Het 'wiskundige bewijs' vind ik wel overtuigend, maar 't leidt niet noodzakelijkerwijs tot meer inzicht. Om helemaal te doorgronden hoe de 'dingen' in elkaar steken moet je er over nadenken. Dat is dan soms iets anders dan formules maken, vergelijkingen oplossen e.d. Alhoewel?

Ik geloof dat de kunst is om na te denken over abstracties. Daarna kan je vervolgens dat zeker in de taal van de wiskunde beschrijven, uitwerken, bewijzen... en nog zo wat. Zodat iedereen overtuigd is van je gelijk...:-)

Wiskunde is cool:-)

Wiskundige denkactiviteiten

Wat zijn dat eigenlijk, wiskundige denkactiviteiten? Is dat iets nieuws? Of hadden we dat al? Wie het weet mag het zeggen.

• Gebakken lucht
• Lekker klunzen
• Een hek van 100 meter
• Maximale oppervlakte gelijkbenige driehoek
• Hoeveel woorden van 4 letters kun je maken?
• Wat bedoelen ze toch met denkactiveiten?