Dat heb ik weer...:-)

Ik zeg tegen leerlingen altijd, dat als je er in eerste instantie niet uitkomt, neem een concreet voorbeeld. Ik nam voor de gevraagde hoek maar 's even 100o en wat denk je? Dat was ook het antwoord. Klaar...

Verdwaald

"If we don't get lost, we'll never find a new route"
Joan Littlewood

Bovenstaand citaat is één van mijn favoriete citaten. Je weet maar nooit hoe een koe een haas vangt. In het onderwijs moet je niet bang zijn om te experimenteren en andere dingen uit te proberen. In het onderwijs geldt maar één wetmatigheid en dat is dat er geen wetmatigheden zijn...:-)

De kerncompetentie van een docent is om naar eer en geweten te doen wat nodig is en als dat niet werkt de dingen anders aan te pakken, je moet iets veranderen, je verzint een list, je probeert andere dingen uit. Ga niet bij de pakken neerzitten en maak een plan. Toets alles en behoud het goede. Herhaal dit proces en ontdek nieuwe wegen...:-)

• Begrip en inzicht

---

• Werkplan

Tips en truuks...

Naar aanleiding van begrip en inzicht kan je hier enkele praktische tips en aanwijzingen vinden over wiskunde en wiskundeonderwijs.

Eigenlijk had ik een boekje willen schrijven maar dat gaat er voorlopig niet komen. Ik ben nog niet helemaal uitontwikkeld...

• Tips & truuks

Mooie opgave ruimtemeetkunde

Construeer een vlak V welke gaat door het punt P (dat op BT ligt), zo dat de doorsnede van V met piramide T.ABCD een parallellogram is.

Wat is dit voor een getal?

 
Dat is 213.:-)

Om nooit meer te vergeten

Welke Amerikaanse staat staat hier aangegeven?




Om nooit te vergeten...:-)

Wiskunde leren is een fractal

Iedereen denkt maar steeds dat wiskunde leren iets te maken heeft met begrip en inzicht. Dat klinkt wel leuk, maar hoe zit dat dan precies in elkaar? Bestaat dat wel? Of is het een fantasie? Is inzicht misschien een grote verzameling van andere dingen, ervaringen, herinneringen of vaardigheden? Kortom... wat zou het zijn?!

Het antwoord is: het is een fractal...:-)

Voorbeeld

Op deze pagina op WisFaq staat hoe je de afgeleide van \(f(x)=\sqrt{x}\) kunt afleiden uit de definitie.

Als je ooit verder wilt komen met die wiskunde, als je nieuwe dingen wilt kunnen bedenken, je werk op een hoger niveau wilt kunnen tillen dan moet je beschikken over heel veel goedverankerde basiskennis. Oefenen, oefenen en oefenen. Je kunt niet elke keer als je de afgeleide van bijvoorbeeld de wortelfunctie nodig hebt de definitie gaan toepassen. Dat schiet niet op.

Achter de definitie van de afgeleide gaat voorkennis schuil: coördinaten, assentelsels, functies, differentiequotiënten, ... Iets nieuws leren betekent voortbouwen op die voorkennis. Als je inzoomt op die voorkennis dan 'hangen' daar allerlei dingen aan vast. Kennis, vaardigheden, begrippen, attitudes en inzichten. Als je inzoomt op de voorkennis van de voorkennis dan zit daar ook weer allerlei voorkennis achter...

Maar 't is nog veel erger. De manier waarop je verbindingen legt met de bestaande kennis en vaardigheden is zelf juist ook weer wat ik 'wiskunde doen' zou willen noemen. Soms kan je niet volstaan met 'dat is nu eenmaal zo'. Soms kan je niet verder met de bestaande voorkennis. De voorkennis kan ontoereikend zijn, misschien moet die voorkennis wel aangepast of uitgebreid. Dan moet je terug naar de basis. Wat was ook weer de definitie van de afgeleide? Hoe hebben we die 'handige rekenregels' ook alweer afgeleid? Hoe kwamen we er aan?

Wiskunde leren is een continu proces van toepassen wat je al weet, maar ook teruggaan naar de basis, inzoomen op bestaande voorkennis. Bij dat in- en uitzoomen kom je steeds weer dezelfde dingen tegen, dezelfde vormen, dezelfde processen, dezelfde wetmatigheden, dezelfde structuren... Dat noem ik begrip en inzicht.

Kortom: wiskunde leren is een fractal.

Project X

Ik probeer (bijvoorbeeld in de derde klas) nog wel 's te experimenteren met eigen lesmateriaal. Een opdracht als oppervlakte van driehoeken is daar een voorbeeld van. Tot nu toe was ik daar slechts matig tevreden over.

Er is in ieder geval altijd een hobbel die je moet overwinnen:

• Leerlingen hebben niet automatisch het idee dat 'mijn opdrachten' erg relevant zijn. Willem kan van alles bedenken maar 't staat niet in het boek dus moeten wij dat dan leren? Komt het in de proef? Of is het meer voor de lol? Zitten wij daar dan op te wachten? Hoe nuttig kan dat zijn?

Een beetje frusterend is dat wel. Je denkt als je wiskunde nu 's op een andere manier aanbiedt dan leren we daar misschien meer van? Misschien leren we dan belangrijkere dingen dan als je alleen maar heel veel domme sommen moet maken? Wiskunde is vooral ook een ontdekkingsreis? Geen hapklare brokken oppervlakkigheid maar echte problemen oplossen! Denkactiviteiten! Toepassen wat je allemaal al kan en verder kijken dan je neus lang is. Het mag toch ook wel leuk zijn?:-)

Dit jaar heb ik aan het eind van het schooljaar toch het gevoel dat ik nog 's een poging moet wagen. Na 8 hoofdstukken 'open deuren' wordt het tijd voor iets anders. Doe 's gek. Doe 's iets samen. Verleg 's wat grenzen.

Ik kan het niet laten dus ik ga toch nog de laatste weken raar doen. Ik heb 't maar project X genoemd. Ik verdeel de klas in groepen, wiskunde A en wiskunde B groepen en VWO- en HAVO-leerlingen bij elkaar... Ik heb een aantal opdrachten klaar liggen en de uitwerkingen worden ingeleverd, ik beoordeel ze en de resultaten tellen mee als 'proef van hoofdstuk 9'.

Een mooi experiment dat waarschijnlijk meer vragen oproept dan het zal beantwoorden, maar wat geeft het? Als je niet verdwaald dan kom je nooit ergens. Ik ga 't maar gewoon 's doen en dan komen de vragen vanzelf.:-)

Leerstijlen maar dan anders

Er begint zich langzamerhand een beeld te vormen van leerstijlen. Dat zijn dan niet de gebruikelijke leerstijlen, want die zijn onzin. Nee, het is een alternatief, een antithese, een tegengeluid...

Voorlopig houd ik het op:

• de dienstweigeraar
• de ontdekkingsreiziger
• de lijnentrekker
• de denker

Ik moet dat nog een beetje uitwerken, maar dat komt dan nog... wie weet wat we allemaal nog ontdekken.:-)

't Is gewoon een truuk...

Naar aanleiding van dit bericht:

Er ging zo maar iemand roepen:

Zie en huiver: wiskunde zonder enig begrip en inzicht

Is dat zo? Of is dit een voorbarige conclusie?

1e voorbeeld:
(a+2)(a-5)=a(a-5)+2(a-5)=a²-5a+2a-10=a²-3a-10

2e voorbeeld:
(a-2)(a-5)=a(a-5)-2(a-5)=a²-5a-2a+10=a²-7a+10

Mooier kan je 't niet verzinnen:-)

Maar is dat nu heel anders dan Hoe werk je dubbele haakjes weg? Dat lijkt me niet...



Wat voor de een een truuk is is voor de ander volstrekt helder. Als je denkt dat het een truuk is dan begrijp je 'm gewoon niet. 't Is geen truuk. Zo is de staartdeling ook geen truuk. Maar 'lijnentrekkers' noemen dat een truuk omdat ze niet echt begrijpen hoe het in elkaar zit.



Maar wat voor een 'onzin' iemand ook roept er is altijd nog wel iemand die het er helemaal mee eens is. Lijntrekken als modetrend? Treuriger kan het bijna niet worden...

Dat doe je gewoon zo en zo...

Ik roep wel 's dat wiskunde leren iets anders is dan bijvoorbeeld aardrijkskunde of een taal leren. Hoe dat zit? Dat is nog lastig om uit te leggen. In wiskundeboeken of op rekentoetsen kan je dit soort vragen tegen komen:

Dertien tafeltennissers spelen een halve competitie. Dat betekent dat elke speler precies één keer speelt tegen elke ander speler. Hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld?

Op Wedstrijden heb ik nog 's een poging gedaan om te laten zien hoe je dat aan zou kunnen pakken. Nu is de vraag 'wat zou je nu willen dat leerlingen daarvan onthouden?'.

Ik denk dat veel leerlingen vrij snel de conclusie trekken dat je 'gewoon het kwadraat van n moet nemen en dan n er aftrekken voor een een hele compititie en dan nog moet delen door twee voor een halve competitie' en dat klopt ook wel. Zo'n aanpak leidt de volgende keer zeker tot een goed antwoord.

Je kunt dit uit je hoofd leren en de meeste leerlingen zullen daar geen moeite mee hebben. Je moet het dan wel onthouden, maar, je begrijpt al, na een aantal weken zou er zo maar verwarring kunnen ontstaan... 'Moest je eerst het kwadraat nemen en dan delen door twee?', 'Hoe zat het nu ook alweer precies?'. 't Is een leuk idee, maar niet iets dat echt blijft hangen misschien.

Je kunt je zelfs afvragen of het kunnen uitrekenen van het aantal wedstrijden nu het doel was van de lessen. Misschien was die 'competitie' wel gewoon een 'context' om telproblemen aan te pakken. Dus die hele of halve competitie kan ons eigenlijk niet veel schelen.... nee het gaat om aanpakken van een telprobleem. Maak 's een plaatje en beredeneer hoeveel wedstrijden er gespeeld worden.

Als je daar wat verder over nadenkt... Wat is eigenijk het doel van wiskundeonderwijs? Zou het aanpakken van problemen, het redeneren, e.d. niet een veel hoger goed zijn dan het kunnen oplossen van vooraf vastgestelde trivialiteiten die je (mits je over de juiste vaardigheden beschikt) een fluitje van een cent zijn...

Je meer kunnen richten op mee algemene vaardigheden die ook nog 's bredere inzetbaar zijn zou toch wel mooi zijn.:-)

Procenten en verhoudingstabellen

Bij het rekenen met procenten ben ik tot nu toe steeds uitgegaan van groeifactoren. Op rekenen met procenten en groeifactoren kan je daar nog de overblijfselen van vinden. Dat rekenen met groeifactoren heeft als je dat eenmaal begrijpt veel voordelen. Het bereidt ook voor op exponentiele groei, rijen en reeksen en nog zo wat...

Ik heb in HAVO 4 een (digitale) opdracht gemaakt over procenten. Op deze pagina kan je zien wat ze daar volgens het boek voor nodig hebben. Bekende formules als:

• oud×groeifactor=nieuw
• toename=(nieuw-oud)/oud×100%

Dat werkt soms goed, maar soms ook niet.



Dat lijkt eenvoudig op te lossen. Je weet dat de groeifactor 1,21 is, nieuw=142 euro, dus kan je oud uitrekenen en 't verschil nieuw-oud zal dan wel de BTW zijn die je moet betalen. Maar zo eenvoudig is dat kennelijk niet. Maar 't kan ook zo:

Maak een verhoudingstabel:

121%	21%
€142	?

...en dan kruislings vermenigvuldigen...

Dat is (ook) een mooie oplossing. Maar waarom gebruiken we dat niet? Het is voor leerlingen die de rekentoets moeten maken wel erg nuttig, denk ik. Misschien moet je zelfs meer inzetten op verhoudingen en verhoudingstabellen. Ik denk zelfs dat je daarmee gemakkelijker kan uitleggen hoe dat nu precies zit met die groeifactoren.

Straks gaat er nog iemand denken dat het bij wiskunde wel vaker voorkomt dat 'dingen' die ogenschijnlijk heel iets anders lijken feitelijk hetzelfde zijn. Jaja...:-)

Verspilde moeite

In het wiskundeonderwijs (en meer in algemene zin) kom je regelmatig dezelfde discussies tegen. Je kunt daarbij denken aan 'kennis versus vaardigheden', 'inzicht versus oefenen' en meer van dat soort. Voor alle argumenten zijn er allerlei bronnen beschikbaar waar in principe alles aangetoond, dan wel, overboord kan worden gegooid.

Dichotomie
Veel vooruitgang zit er meestal niet in. Zoiets kan een indicator zijn dat de vermeende dichotomie onzinnig is. Meestal begint het er mee de zaak op te delen in twee (of meerdere) niet overlappende begrippen, deze begrippen vervolgens te herdefinieren, om ze vervolgens met de grond gelijk te maken. Omdat de dichotomie vooral gebaseerd op fantasie lijkt me dat ook niet zo moeilijk. Een eenzijdige focus op één van de begrippen kan natuurlijk nooit ergens toe leiden.

De meeste mensen lossen deze 'cognitieve dissonantie' op door te veronderstellen dat de waarheid, zoals gewoonlijk, in het midden ligt. Er bestaat niet zoiets als kennis zonder vaardigheden, ze zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Het heeft geen zin om te oefenen als je geen inzicht hebt in de dingen die je doet.

De waarheid ligt in het midden
Maar dat klopt niet. Aan elke zaak zitten heel veel kanten. Het is nogal simpel te denken dat je complexe processen kunt beschrijven met 2 kanten. Hadden dat er ook 4 kunnen zijn? Of 12? 1000? Dat denk ik wel.

Om 'grip' te krijgen op ingewikkelde 'dingen' moet je niet proberen de zaak te simpel voor te stellen. Op die manier doe je geen recht aan de veelzijdigheid van de zaak. Het zijn slechts modellen van de werkelijkheid. Maar bestaat er dan zoiets als 'de werkelijkheid'? Mijn werkelijkheid is waarschijnlijk anders dan die van jou. Dat weet ik wel zeker.:-)

Maar wat dan?
Volgens mij gaat het er om om over al die verschillende werkelijkheden in gesprek te gaan met elkaar. Wat denk jij? Wat vind ik? Wat zijn mijn ervaringen? Wat doe ik? Wat doe jij? Heb jij misschien een punt? Heb jij iets bedacht waar ik nog niet aan gedacht had? Wat kan ik van jou leren? Wat kan jij van mij leren?

In die zinloze discussies bespeur ik meestal helemaal niets van enige neiging om zich ook maar enigszins te verdiepen in het standpunt van de ander. Het enige doel lijkt het versterken van het eigen gelijk en het aantonen van het ongelijk van de ander. Dat is niet echt iets nieuws, denk ik, maar wat heb je er aan?

Nu zou dat laatste nog wel een soort van aardig (intellectueel) tijdverdrijf kunnen zijn, maar als het om onderwijs gaat, dan begrijp ik dat niet. Als je zelf niet in staat bent om je te verplaatsen in een ander of als je alleen gelooft in je eigen gelijk... als je jezelf belangrijker vindt... als er in je hoofd geen enkele ruimte is voor de mogelijkheid dat de waarheid op een hoger plan ligt... dan stop er mee. Het is versplilde moeite.

De wijzers van de klok

In het boek voor de 1e klas komen opgaven voor waarbij de leerlingen de hoek moeten berekenen tussen de wijzers van de klok op een bepaalde tijd.



Bereken de hoek tussen de grote en kleine wijzer om 9 minuten over 1.

't Is een grappig probleem. De grote wijzer gaat natuurlijk sneller dan de kleine wijzer, maar om 13:09 is de kleine wijzer ook een stukje gedraaid.

In WisFaq heb ik op graden van de klok er al een vraag over beantwoord. Sommige mensen vragen zich misschien wel af wat daar nu precies het nut van is. Dat mag...:-)

Wat is het nut om de hoeken te berekenen van de wijzers van de klok?

Ik denk dat de praktische toepasbaarheid van deze vaardigheid niet erg groot is. Het draagt waarschijnlijk niet op de korte termijn bij aan versterking van de economie....:-)

Maar in vakdidactische zin lijkt het me wel een nuttige activiteit. Ik gebruik het 'wijzershoekenprobleem' misschien nog wel een keer in HAVO 4 wiskunde B. Het is (denk ik) voor de eerste klas een leuke manier om naar hoeken te kijken en naar periodieke verschijnselen.

Daarnaast vind ik het mooi voorbeeld van een 'schier onoplosbaar probleem' dat met eenvoudige wiskundige middelen goed op te lossen is. Dat is toch ook wat waard... wat?:-)

Digitale didactiek

Ik geloof dat de 'geleerden' er nog niet helemaal uit zijn of er zoiets bestaat als digitale didactiek. Maar vooruit maar...

Bij de vragen van vandaag in WisFaq kan je wel een mooi voorbeeld vinden van digitale didactiek. Als ik een vraag beantwoord in WisFaq maak ik (meestal) voor mezelf een volledige uitwerking van de vraag. Ik kan dan kijken of ik het zelf snap en of een oplossing te doen is voor de vragensteller. Al naar gelang het niveau en zo...:-)

Vervolgens ga ik kijken wat ik weg kan laten zonder te kort te doen aan de bedoeling van het antwoord. Het gaat tenslotte niet om een 'uitwerkingenboekje' maar om een 'vraagbaak'. We zijn er niet om vissen uit te delen, maar om de leerlingen te leren vissen.

Ik heb bij de beantwoording van Translatie van functie hier en daar 'puntjes gezet' in plaats van het volledige antwoord te geven. Aan de Re: Translatie van functie kan je dan zien dat 'weglaten' een nuttige actie is. Deze leerling heeft iets geleerd, hoop ik...:-)

Daarnaast roepen 'halve antwoorden' meestal reacties op. Dat is ook mooi, want interactie is natuurlijk veel leerzamer dan uitwerkingen. Wat mij betreft mag je dat best digitale didactiek noemen. Of gewoon gezond verstand of wat dan ook...

Zie ook:

• Zeven pijlers van digitale didactiek
• Waarom is er nog steeds aparte aandacht nodig voor digitale didactiek?

Het derde merkwaardige product

Soms zijn dingen voor jezelf zo volstrekt helder dat je vergeet dat zoiets mogelijkerwijs voor een ander niet zo is. Naar aanleiding van derde merkwaardige product kwam er wel een aardige reactie binnen. Zoiets als 'de uitleg is goed maar ik snap het niet'.:-)

Bij merkwaardige producten zoals a²-b²=(a-b)(a+b) moet je de 'a' en 'b' opvatten als variabelen. Dat zijn (feitelijk) getallen. Maar die getallen kunnen natuurlijk ook weer uitdrukkingen zijn. Dat zijn ook getallen...

Bij (n+1)²-n² moet je dus 'herkennen' dat a=n+1 en b=n. Er staat dan a²-b² en dat kan je schrijven als (a-b)(a+b) zodat er (n+1-n)(n+1+n) staat. Dat laat zich dan schrijven als 1·(2n+1), dus 2n+1. Meer moet het niet zijn.

Nu kan je dat herleiden bij (n+1)²-n² ook wel zonder dat derde merkwaardige product doen. n²+2n+1-n² is 2n+1. Dat gaat wel zo snel, maar 't was een oefening. Om het te leren, zeg maar...

Bij (2x+1)²-(x+2)² moet je dan bedenken dat a=2x+1 en b=x+2 en dan verder als hier boven. Direct uitwerken is hier trouwens ook handiger. 4x²+4x+1-(x²+4x+4)=3x²-3. Dat zijn dan vooral de andere merkwaardige producten.

Maar wat is er moeilijk aan? Ik weet het niet, je moet naar de structuur kijken. Het verschil van twee kwadraten is het product van het verschil en de som van die twee getallen. Om het maar 's in normaal Nederlands te formuleren. Het heeft alles te maken met getalbegrip en inzicht in de rekenoperaties. Wat zijn kwadraten? Wat zijn factoren? Wat is een product? Enz.

De vraag is dan of die formuletaal wel helemaal meteen voor iedereen duidelijk is. Uiteindelijk lijkt me dat zeker het handigst maar als je 't nog moet leren is dat misschien toch lastiger dan ik dacht. Hopelijk helpt het om er over te praten...

We zien wel...:-)

Het echte doel van ons wiskundeonderwijs

Op de website van de NVvW staat op het forum een artikel 'Het echte doel van ons wiskundeonderwijs'. Ik had wel de neiging te reageren, maar 't is nogal ingewikkeld.

Er lopen een aantal zaken door elkaar heen die wel even ontrafeld moeten worden. Daarnaast is de vraag of we nu maar steeds blijven slingeren tussen tegenpolen of wordt het tijd om serieus te kijken of 'de oplossing' niet op een hoger plan ligt.

Dat laatste is misschien wel een beetje een ambitieus plan voor een 'simple pole in a complex plane'

1. welke wiskunde is nodig voor welke leerlingen?
2. wat is realistisch wiskundeonderwijs?
3. wiskunde is toch abstract?
4. is er verschil tussen contexten en toepassingen?
5. leidt de grafische rekenmachine tot versmurfing?
6. waarom geeft schoolwiskunde een slecht beeld van de wiskunde?
7. waar hebben leerlingen wiskunde eigenlijk voor nodig?
8. is statistiek eigenlijk wel ‘echt’ wiskunde?
9. wiskunde is voor de meeste leerlingen toch veel te moeilijk?

't Zal wel niet volledig zijn, maar ik heb hiermee, denk ik, de belangrijkste thema's wel op een rijtje staan. De volgende keer meer...:-)

Het onzichtbare leren

Ik heb op Twitter een beetje lollig zitten doen over het onzichtbare leren. Als je er een tijdje over doorgrapt dan krijg je al snel onzichtbare leerlingen, onzichtbare docenten, dito schoolleiding, schoolgebouwen en nog veel meer van die 'dingen'. Wel grappig, maar er is ook nog wel iets zinnig over te zeggen.

Ik had op woensdag 18 januari 2012 al een keer een verwijzing opgenomen naar 'invisiblelearning.com'.

"The proposed invisible learning concept is the result of several years of research and work to integrate diverse perspectives on a new paradigm of learning and human capital development that is especially relevant in the context of the 21st century."

Ik stel vast dat 'het onzichtbare leren' een concept is dat een andere kijk geeft op leren en dan met name het leren in de 21ste eeuw.

Ik vind de term 'onzichtbaar' niet zo 'handig'. Andere termen die er tegenaan schurken zijn: informeel, onbedoeld, impliciet, plaats- en tijdonafhankelijk, samenwerkend, e.d.

Het idee is dat de rol van de docent als 'overdrager van kennis' verandert in 'begeleider van een leerproces' dat in toenemende mate plaats vindt buiten de muren van het klaslokaal. Naast het opdoen van die kennis die alom vertegenwoordigd is wordt er allerlei extra dingen geleerd die niet direct 'zichtbaar' zijn, maar wel van belang voor de ontwikkeling van leerlingen.

Ik gebruik zelf de term 'het onzichtbare leren' voor al die dingen die docenten 'veroorzaken' die niet direct 'meetbaar' zijn. Er wordt bijvoorbeeld wel 'gekeken' naar 'zichtbare' resultaten (cijfers, doorstroming, e.d.) maar de 'echte effecten' van het onderwijs worden zelden onderzocht. Terwijl het daar, uiteindelijk, natuurlijk wel om gaat.

• Zie bijvoorbeeld Wat hebben we geleerd?

Naast 'goede punten halen' zijn 'plezier in leren', 'zelfvertrouwen kweken' of 'problemen durven aanpakken' ook belangrijke doelen van wiskunde leren. Als docent help je leerlingen te ontdekken 'waar ze goed in zijn', 'wat ze willen', e.d.

Ik geloof dus niet dat 'het onzichtbare leren' iets nieuws is. Dat was er altijd al. Misschien dat sommige mensen het niet zien, dat kan.:-)

Waarmee ik wil zeggen dat 'onderwijsvernieuwers' niet steeds maar weer moeten proberen het 'oude onderwijs' als oppervlakkig af te schilderen en roepen dat ze 'iets nieuws' hebben bedacht, terwijl dat nog maar zeer de vraag is. Als je daar dan toch nog iets mee wilt bereiken probeer dan op z'n minst je termonologie zo te kiezen dat niet iedereen meteen in de gordijnen hangt.

De kunst van nieuw en innovatief onderwijs is niet het afbreken van de dingen die je niet begrijpt maar andere wegen te ontdekken en combinaties of  verbindingen te maken met bestaande praktijken die hebben bewezen te werken.

Lang leve het Internet:-)

In de Euclides van december 2012 staat op pagina 112 een wonderlijk plaatje:



Dat lijkt 'ergens' wel op het plaatje van deze pagina:



...maar dan verkeerd om, zullen we maar zeggen. Het idee is aardig, alleen de volgorde is omgekeerd. Wat een wonderlijk toeval...:-)

Ik kwam ooit dit tegen:



Nou ja... die Pascal durft wel... is dit niet gewoon fraude dan... en de docent maar verder slapen. Maar wel mooi geformuleerd, ik had het zelf niet beter kunnen verwoorden…:-)

Zie Wiskunde leren? Hoe doe je dat?

Geen idee..:-)