Werkzaamheden

 Hier is nog 't een en 't ander aan te sleutelen:

• U. Is dit een eerlijk spel?
• V. Een studio met een vierkant grondvlak
• W. Een stoomvaartmaatschappij
• X. Een evaluatieproef
• Y. Een kegelvormige fles omkeren
• Z. Booglengte

We zullen het wel zien...:-)

Volgens de voorstellen van curriculum.nu zijn er voor het reken- en wiskundeonderwijs een aantal essentiële veranderingen nodig die het curriculum actueler maken en meer laten aansluiten bij toekomstige ontwikkelingen.

Wat verandert er?

• Introductie van statistiek in het primair onderwijs
• Gebruik van wiskundegereedschappen en technologie
• Een basis in algebra en analyse waarbij leerlingen diverse oplossingsstrategieën leren
• Een steviger en samenhangend fundament voor breuken, decimale getallen, verhoudingen en procenten
• Aandacht voor wiskundige denk- en werkwijzen: probleemoplossen, abstraheren, logisch redeneren, representeren en communiceren, modelleren, algoritmisch denken en gereedschappen en technologie gebruiken

bron

Uitwerkingen
In de brief van de minister voor basis- en voorgezet onderwijs en media staat:

"Om dit te realiseren moet op basis van de voorstellen nog een stap worden gezet, zoals ook door verschillende partijen is gesteld. Dit betekent dat de kerndoelen en eindtermen scherp en concreet geformuleerd worden, en zich beperken tot de kennis en vaardigheden die leerlingen moeten kennen en kunnen."

A.Slob - brief van de minister voor basis- en voortgezet onderwijs en media - 9 december 2019

Hoorzittingen
Er is al veel over gezegd. Er hebben inmiddels hoorzittingen en rondetafelgesprekken plaats gevonden. Volgens Jan van de Ven kunnen er t.a.v. het vervolg drie dingen gebeuren:

• Stekker eruit, stoppen, prullenbak
• Pas op de plaats:
• probleemanalyse
• draagvlak
• wetenschappelijk fundament
• overladenheid
• ideologische grondslag op orde brengen
• In volle vaart doorgaan zoals van tevoren gepland

Eerlijk gezegd denk ik dat de laatste mogelijkheid het meest voor de hand ligt. Maar waarschijnlijk is de tweede mogelijkheid beter voor het vervolg en de acceptatie.

We zullen het wel zien...:-)

"Je kunt geen voetballer worden door toonladders te oefenen"
Globe Putrand

De grafische rekenmachine

Er is in sommige kringen nog wel 's sprake van onenigheid over de rol en nut van de grafische rekenmachine in het voortgezet wiskundeonderwijs. Inmiddels is wiskunde het enige vak waar de grafische rekenmachine is toegelaten.

• Wel of geen grafische rekenmachine? 

Hier zie je een aantal grafische rekenmachines uit mijn verzameling.

De lerarenopleiding
De cursus De grafische rekenmachine voor de deeltijd werd op de lerarenopleiding voor het laatst gegeven in het cursusjaar 2007-2008.

De cursus had tot doel om deeltijdstudenten enigszins wegwijs te maken in het gebruik van de grafische rekenmachine, maar het had ook als doel om de wiskunde op te halen. De combinatie van 'basisvaardigheden' en 'goed gebruik van de grafische rekenmachine' leek op een bepaald moment wel een goed idee...

Maar in de loop der dingen werd de cursus afgeschaft, maar als je nog nooit met een GR gewerkt hebt dan was een cursus toch niet zo'n gek idee, misschien. Vanaf 2010 werd de cursus als keuzecursus aangeboden.

• De grafische rekenmachine deeltijd

Het primaire doel van de cursus was dat studenten vertrouwd raken met de grafische rekenmachine en leren de grafische rekenmachine op een goede manier in te zetten. Dat veronderstelt dat studenten de mogelijkheden en beperkingen kennen.

De cursus werd afgesloten met een schriftelijke toets in de toetsweek.

De rol van de grafische rekenmachine
Je gebruikt de GR als/voor:

• rekenmachine
• tabellenboekje
• functies en grafieken
• numerieke wiskunde  
• experimenteertuintje 
• onderzoeksobject

Een 'normale' wetenschappelijke rekenmachine kun je ook gebruiken als 'rekenmachine' en 'tabellenboekje'. De andere functies zijn wat lastiger. Daarvoor zou je eventueel andere ICT-middelen kunnen inzetten. Op dit moment heb je die uitgebreidere functies wel nodig op je examen, dus veel keus is er nu niet. Maar noodzakelijk zou dat niet moeten zijn als we dat zouden willen.

Gebruik van de grafische rekenmachine
Tegenstanders van het gebruik van de GR roepen meestal dat leerlingen niet echt met hun GR kunnen omgaan en dat zo'n apparaat op die manier alleen maar leidt tot domheid.  Mijn idee zou zijn dat er dan ergens iets niet goed gegaan is:

• krijgen leerlingen wel de kans om goed te leren omgaan met hun GR? 
• wanneer moet je de GR nu wel of niet gebruiken? 
• wat kan je er mee? 
• wat kan je er niet mee? 

Waarschijnlijk moeten ze het doen met knoppeninstructie? Dat laatste leidt, naar mijn idee, niet tot een verstandig gebruik van het apparaat en ook niet naar een beter begrip en inzicht in de wiskunde. Dat moet beter kunnen.

Wat was het idee achter de invoering van de GR?
Je kunt je afvragen wat de diepere gedachte was achter invoering van de GR in het voortgezet onderwijs. Ik heb altijd gedacht dat, naast het 'normale gebruik' van een rekenmachine, de belangrijkste reden was om modelleren mogelijk te maken. Als je leerlingen kennis wilt laten nemen van toepassingen van wiskunde dan wordt de wiskunde, die je daar bij nodig hebt, vrij snel ingewikkeld. Met ICT of een GR kan je numerieke methoden of zelfs simulaties gebruiken.

Je kunt dan rekenen aan je 'wiskundige model' en conclusie trekken over het probleem dat je wilt onderzoeken. Je kunt dan nadruk leggen op modelleren, begrip en inzicht en het rekenwerk overlaten aan de GR. Bij 'grafen en matrices' (bijvoorbeeld) kun je leuke dingen doen met de GR.

Leslie- of populatievoorspellingsmatrix
Bij HAVO wiskunde A hadden we ooit het onderdeel 'grafen en matrices. Hier kan je allerlei berekeningen doen met o.a. een populatie-voorspellings-matrix en matrix-vermenigvuldiging.

Aan zo'n matrix-vermenigvuldiging kan je dan wel fijn rekenen. Je kunt er allerlei vragen over stellen en voorspellingen doen bij veranderende randvoorwaarden. Met de hand is dat bijna niet te doen maar met een GR kan je heel handig rekenen met matrices. Daar hadden we heel graag de GR bij willen inzetten, maar die hadden we toen nog niet.

Toen de GR samen met het nieuwe programma werd ingevoerd zat 'grafen en matrices' echter niet meer in het programma. Een gemiste kans...:-)

Het gebruik van de GR betekent natuurlijk niet dat je niet met de hand een matrixvermenigvuldiging moet kunnen uitvoeren. Maar 't is wel een mooi voorbeeld. Je kunt (als je eenmaal weet hoe 't werkt)  jezelf een hoop rekenwerk besparen en je bezig houden met je model.

• VWO 4 - wiskunde D - matrices en kansen

Conclusies
Hoe dan ook kan je de GR niet de schuld geven van de teloorgang van het wiskundeonderwijs. Dat is natuurlijk onzin.  Gezien de huidige stand van zaken heeft het niet veel zin, al mopperend, de GR zoveel mogelijk proberen te negeren. Dat is niet slim. Misschien moet je er juist extra aandacht aan besteden. Als leerlingen goed met de GR kunnen omgaan kan het een steun en toeverlaat zijn. Bij sommige opgaven uit het programma kun je zelfs niet zonder GR, dus je moet wel...

Daarnaast zijn er (denk ik) oneindig veel opdrachten te bedenken waarbij de GR juist toegevoegde waarde heeft voor het ontwikkelen van de benodigde vaardigheden, het begrip en het inzicht. Zelfs de beperkingen van een GR kunnen leerlingen veel leren over de diepere roerselen van de wiskunde.

Daarnaast moet je wel iets van wiskunde begrijpen om de GR goed te kunnen gebruiken. Er is nog veel te zeggen over 'het experimenteertuintje' en de GR als 'onderzoeksobject', maar daarover dan misschien een andere keer...:-)

“You never change things by fighting the existing reality.
To change something, build a new model that makes the existing model obsolete.”
― Buckminster Fuller

Wat wil je nog meer?

Ik heb van wiskundeleraar.nl geleerd dat als je alles wat je in de les doet ook online beschikbaar stelt dat je in de les meer ruimte hebt om je te richten op 'begrip en inzicht'. Je hebt meer tijd om langer bij dingen stil te staan.



Wiskundeleraar.nl is zo gemaakt dat je zo'n praatdia beeldschermvullend met de beamer kan projecteren om daar 's even lekker over door te praten. Koppel er meteen wat opgaven aan die we toch al moesten maken en je hebt de les al een heel eind klaar. Daarna weer samen ernstig de uitwerking bespreken of de opgaven samen uitwerken.

Je moet dan niet raar staan kijken als aan het einde van de les een leerling roept 'willem bedankt... tot volgende week'. Wat wil je nog meer?:-)

De waarheid ligt op een hoger plan

De waarheid ligt niet in het midden. Het ligt op een hoger plan. Het probleem is dat de mensen van de beide zijden van de loopgraaf op deze manier de voortuitgang hinderen...

• Twitter

Meestal is er dan wel ergens iemand die dan wil weten wat dat 'hogere plan' dan precies is. Tja, als ik dat wist dan zat ik hier niet, maar ik heb wel enige vermoedens...:-)

...en de ideeën zijn te koop...:-)

Verdwaald

"If we don't get lost, we'll never find a new route"
Joan Littlewood

Bovenstaand citaat is één van mijn favoriete citaten. Je weet maar nooit hoe een koe een haas vangt. In het onderwijs moet je niet bang zijn om te experimenteren en andere dingen uit te proberen. In het onderwijs geldt maar één wetmatigheid en dat is dat er geen wetmatigheden zijn...:-)

De kerncompetentie van een docent is om naar eer en geweten te doen wat nodig is en als dat niet werkt de dingen anders aan te pakken, je moet iets veranderen, je verzint een list, je probeert andere dingen uit. Ga niet bij de pakken neerzitten en maak een plan. Toets alles en behoud het goede. Herhaal dit proces en ontdek nieuwe wegen...:-)

• Begrip en inzicht

---

• Werkplan

Op weg naar...

"If we don't get lost, we'll never find a new route"
Joan Littlewood

Op Tips en truuks heb ik geprobeerd het één en het ander uit te dragen over het denken over wiskundeonderwijs. Het ging me daarbij vooral om begrip en inzicht. Dat is nog niet eens zo eenvoudig uit te leggen. Maar hopelijk heeft er iemand nog iets aan.

Ik heb er nog wel meer ideeën over. Hoe het precies in elkaar steekt is lastig. Hoe leg je het uit? Wat zou er moeten gebeuren? Waar moet het naar toe? Welke weg moeten wij bewandelen?

Ik denk dat P. Wortels schrijven in standaardvorm voorlopig mijn laatste bijdrage wordt. Daar moet nog wel iets aan gebeuren...:-)

Ondertussen ben ik deze behandeling gestart. Dat zijn 5 keer in de week een dagelijkse sessie van 2 uur in het HGC in Rijswijk. Ik doe daar dan op mijn weblog 'verslag' van. Zo'n verslagje bestaat dan uit:

• Afspraken
• Welke muziek luister ik in de auto op weg naar Rijswijk?
• Welk hoofdstuk lees ik uit 'de slag om Arnhem'?
• Welke sudoku's ga ik oplossen?:-)
• Wat eten we vandaag?
• Is er nog iets bijzonders op TV of anderzins? 
• Een tekening uit Het zoölogisch prentenboek III.

---

•  Lijst van alle verslagen

De vraag is nu? Op weg naar?

• het einde... 
• gezondheid 
• Rijswijk 
• nergens 

Later meer...

Begrip en inzicht

Het derde merkwaardige product

Soms zijn dingen voor jezelf zo volstrekt helder dat je vergeet dat zoiets mogelijkerwijs voor een ander niet zo is. Naar aanleiding van derde merkwaardige product kwam er wel een aardige reactie binnen. Zoiets als 'de uitleg is goed maar ik snap het niet'.:-)

Bij merkwaardige producten zoals a²-b²=(a-b)(a+b) moet je de 'a' en 'b' opvatten als variabelen. Dat zijn (feitelijk) getallen. Maar die getallen kunnen natuurlijk ook weer uitdrukkingen zijn. Dat zijn ook getallen...

Bij (n+1)²-n² moet je dus 'herkennen' dat a=n+1 en b=n. Er staat dan a²-b² en dat kan je schrijven als (a-b)(a+b) zodat er (n+1-n)(n+1+n) staat. Dat laat zich dan schrijven als 1·(2n+1), dus 2n+1. Meer moet het niet zijn.

Nu kan je dat herleiden bij (n+1)²-n² ook wel zonder dat derde merkwaardige product doen. n²+2n+1-n² is 2n+1. Dat gaat wel zo snel, maar 't was een oefening. Om het te leren, zeg maar...

Bij (2x+1)²-(x+2)² moet je dan bedenken dat a=2x+1 en b=x+2 en dan verder als hier boven. Direct uitwerken is hier trouwens ook handiger. 4x²+4x+1-(x²+4x+4)=3x²-3. Dat zijn dan vooral de andere merkwaardige producten.

Maar wat is er moeilijk aan? Ik weet het niet, je moet naar de structuur kijken. Het verschil van twee kwadraten is het product van het verschil en de som van die twee getallen. Om het maar 's in normaal Nederlands te formuleren. Het heeft alles te maken met getalbegrip en inzicht in de rekenoperaties. Wat zijn kwadraten? Wat zijn factoren? Wat is een product? Enz.

De vraag is dan of die formuletaal wel helemaal meteen voor iedereen duidelijk is. Uiteindelijk lijkt me dat zeker het handigst maar als je 't nog moet leren is dat misschien toch lastiger dan ik dacht. Hopelijk helpt het om er over te praten...

We zien wel...:-)

Waar is dat voor nodig?

In Getal en Ruimte klas 2 staat een aardige opgave. Een grasveld met een oppervlakte van 80 m². Om het grasveld ligt een tuinpad. Grasveld en tuinpad samen is 95 m². Bereken de breedte van het tuinpad. Zoiets...:-)

Dat is voor leerlingen lastig. Ze moeten in ieder geval eerst weer even weten wat een wortel is. Zoiets als wat is de lengte van de zijde? is dan wel handig om even te doen. Meestal lukt het dan wel om uit te leggen hoe je deze opgave aanpakt. Zeker als je eerst een voorbeeld geeft met 'gemakkelijke getallen'. Stel je voor dat de zijde van het grasveld 8 is en het grasveld en tuinpad samen 10 is, hoe breed is dan het tuinpad? Meestal komt 'aftrekken en delen door twee' dan wel naar boven drijven.

Deze 'wetenschap' kunnen de leerlingen dan ook nog 's gebruiken bij deze opgave. Dat lijkt dan toch een soort van resultaat, maar de vraag is nu 'wat was nu de bedoeling?'. Niet dat 'aftrekken en delen door twee'. Uit je hoofd leren? Gewoon onthouden? De volgende keer kunnen ze dat dan wel toepassen, maar eigenlijk is het niks. Daar ging het natuurlijk helemaal niet om. Het ging om de aanpak van het probleem en over wat wortels zijn. De 'kunst' is nu om een opgave te bedenken om te onderzoeken of ze hier nu iets mee kunnen?

Probeer een vraagstuk te bedenken dat eigenlijk eenvoudiger is met dezelfde benodigde vaardigheden. Zie de afbeelding hiernaast. Lukt dat? Nee? Dan is het leerdoel helaas niet behaald. Het gaat niet om 'specifieke voorbeelden' op te kunnen lossen maar 'generieke voorbeelden'. Je hoopt dat leerlingen de 'connectie' leggen tussen de oppervlakten van vierkanten en wortels. Tussen kwadraten en wortels. Dat ze de volgende keer bij een gegeven oppervlakte van een vierkant aan wortels denken en andersom.

Daarnaast is het 'als je iets niet begrijpt probeer dan een eenvoudiger voorbeeld te bedenken dat je wel kan oplossen' een belangrijke aanpak voor 'schijnbaar onoplosbare problemen'. Dat zou hier ook nog een mooi resultaat zijn.

Wiskunde leren

Er zijn grofweg drie manieren om (wel of geen) wiskunde te leren.

Niet

Sommige leerlingen willen geen wiskunde leren. Dat kan verschillende oorzaken hebben. Van 'ik kan het toch niet' of 'het is nergens goed voor' tot 'ik heb er geen zin in' of 'ik heb wel wat leukers te doen'. Dat is wel jammer, ergens, want wiskunde kan namelijk erg leuk zijn. Tenminste, als je een beetje begrijpt waar je bezig bent en dat allemaal een beetje wil lukken. Soms moet je wel veel moeite doen om er iets van te gaan begrijpen. Als je daar het nut niet van in ziet, dan ga je dat niet doen, maar dan wordt het natuurlijk ook nooit iets. Eigenlijk is het dan alleen maar vervelend.

Half

In het kader van 'het zit nu eenmaal in mijn pakket' zijn er ook leerlingen die wel een beetje wiskunde willen leren maar er vooral niet meer aan doen dan strikt noodzakelijk. Ze maken hier en daar 's wat sommetjes, leren regeltjes uit het hoofd en proberen met zo'n minimaal mogelijke inspanning zo ongeveer een voldoende te halen. Echt begrijpen waar ze mee bezig zijn is geen doel en meestal gaat het dan wel zo ongeveer...

De juiste weg

De beste manier om wiskunde te leren is om te proberen te begrijpen waar je mee bezig bent. Je zou je eigenlijk bij alles wat je doet en wat er zo in je boek staat moeten afvragen 'is dat zo?', 'waarom is dat zo?', 'begrijp ik dat wel?', 'had ik dat zelf ook kunnen bedenken?'. Dat soort vragen! Normaal gesproken is dat niet echt een handige houding. Je kent dat wel. Een moeder met kind in de trein: 'Mama wat is dat?'. Moeder zegt 'dat is een koe'. Waarop dat kind dan zegt: 'waarom?'. Lekker is dat...:-)

Je moet je niet bij alles altijd afvragen 'waarom?'. Dan word je gek, maar voor die 'dingen' die je bij wiskunde leert lijkt me dat wel een prima houding. Wiskunde is eigenlijk een heel erg prettig vak, omdat als je dingen gaat begrijpen dan hoef je ook verder niet veel meer te doen. Je snapt het gewoon en hoe meer je er van begrijpt hoe leuker het is.

Ik ben er van overtuigd dat iedereen wiskunde kan leren. Soms kost het veel moeite en soms doe je er langer over dan anderen, maar uiteindelijk? Als je echt wilt en er moeite voor wilt doen? Dat moet het kunnen! In ieder geval veel oefenen, zou ik zeggen:-)

Wiskunde is pure hersenactviteit, het zijn gedachtenspinsels! Het is door mensen bedacht en 't zit zo vernuftig in elkaar dat het altijd klopt. Het is niet zo dat je iets leert wat later dan toch weer heel anders ligt of dat het afhangt van je ideeën over de wereld, de mens en het universum in het algemeen. Dat is ook wel 's fijn.

Ik vind het erg prettig als 'dingen' kloppen, dat de wetmatigheden, zeg maar, ook echt wetmatigheden zijn, dat je niet iets hebt waar vervolgens dan 84 uitzonderingen zijn. Bij talen of geschiedenis is dat allemaal veel ingewikkelder. Als je wiskunde al moeilijk vindt hoe zit dat dan met de rest van de wereld? Dat moet dan toch op z'n minst volstrekt onbegrijpelijk zijn.:-)

Klinkt goed he? Maar, ik geef 't toe, heel erg gemakkelijk is het soms niet, maar het heeft wel zin om het te proberen. Als het lukt zul je daar veel plezier van hebben en lukt het niet, dan heb je 't in ieder geval geprobeerd. Niet geschoten is altijd mis, dus probeer 't, je weet 't maar nooit!