Introduction to Mathematical Thinking

Ik studeer. Niet dat ik ooit uitgestudeerd was, maar als 'nieuwe leerder' zijn mijn studieactiviteiten vaak 'hapsnap' en vooral ook erg 'informeel'. In het kader van 'wat is een #MOOC?' doe ik nu een cursus 'Introduction to Mathematical Thinking' op https://www.coursera.org.

Ik heb nu 4 lectures bekeken, oefeningen gedaan en 2 problem-sets ingestuurd. De problem-sets spelen een rol bij de 'grading'. De eerste keer kreeg ik bij het inleveren van de 'problem-set' meteen te zien hoeveel punten ik had gescoord. Dat was wel fijn, vond ik, maar 't was een foutje. Je krijgt je score nu pas te zien als de 'deadline' verstreken is. Daar zullen wel redenen voor zijn.

Mijn idee is nog steeds dat leren in een elektronische leeromgeving alleen werkt als er sprake is van 'prompte feedback' of 'interactie'. Voor wat het laatste betreft is er een forum en zijn er studiegroepen waar je aan mee kan doen. Studenten worden geacht hun antwoorden en bevindingen n.a.v. de oefeningen te bespreken en zo...

Alles bij elkaar zou je nu moeten kijken wat nu het verschil is met de normale gang van zaken bij een cursus. Een reader, bijeenkomsten, huiswerk,... Is nu zo'n #MOOC 'echt' iets anders? Wordt er nu gebruik gemaakt van de extra mogelijkheden die het Internet biedt? Had ik hetzelfde kunnen leren met een boek, opdrachten en een antwoordenboekje?

Of is dit concept zo revolutionair dat hiermee een eventueel docententekort de wereld uit is? Kunnen we hiermee met minder meer bereiken? Is dit een oplossing?

Eerlijk gezegd? Het is qua werkwijze (massive - open - online) echt iets nieuws. Iedereen die wil kan studeren, waar je je verder ook bevindt op deze wereld of daarbuiten...:-)

Inhoudelijk? Daar ben ik minder van onder de indruk. Het lesmateriaal is verder prima, daar niet van, maar 't is qua studeren niet fundamenteel anders dan het 'oude leren'. Dat laatste hoeft geen probleem te zijn, maar ergens heb ik het gevoel dat er meer in zou moeten kunnen zitten.

Maar goed. Het finale oordeel volgt nog. Eerst maar 's afmaken.:-)

Lychrel-getallen

"Een Lychrel-getal is een natuurlijk getal dat niet in een palindroom resulteert na een eindig aantal keren iteratief optellen van de vorige uitkomst en diezelfde uitkomst met de cijfers in omgekeerde volgorde."
Wikipedia

Een voorbeeld van een getal dat wel in een palindroom resulteert is 377.
377 + 773 = 1150
1150 + 511 = 1661
...en dat is dat.

Het is niet bewezen dat er Lychrel-getallen bestaan. Het bestaan van Lychrel-getallen is een vermoeden. Wel zijn er getallen die met behulp van de computer tot vele miljoenen cijfers gecontroleerd zijn zonder in een palindroom te eindigen.
Wikipedia

De eerste tien getallen waarvan men vermoedt dat het Lychrel-getallen zijn, zijn: 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879.

Op WisFaq had hk er van alles over gevonden:

• http://www.jasondoucette.com/pal/256
• http://www.jasondoucette.com/pal/89
• http://www.jasondoucette.com/pal/196

...en dat allemaal naar aanleiding van Hoe bereken ik op een snelle manier een palindroomgetal? Een beetje op 't verkeerde been gezet.

De waarheid en niets dan de waarheid

Dat is pas handig: Truth Table Generator.

Of zoiets:

Handig hoor...:-)

Wiskunde leren

Op Bernard Blogt kwam ik dit mooie zinnetje tegen:

Leerlingen moeten zelf aan het werk gaan. “Struggle with conceptual problems“. Alleen op die manier ontstaat inzicht en kan een leerling steeds beter zelf opgaven oplossen.
bron

Kijk dat bedoel ik nu maar. Leerlingen die moeite hebben met wiskunde zouden eigenlijk de tijd moeten krijgen zich deze 'concepten' eigen te maken. Dat betekent 'geen truukjes leren', 'geen hersenloze stappenplannetjes' en 'geen work around it'.

Dat gebeurt natuurlijk wel. 'Tekstverwerken voor gevorderden' in plaats van 'begrijpen waar je mee bezig bent', 'visual clues' in plaats van 'begrepen handelingen', enz. Uiteindelijk gaat dat niet werken en worden de problemen eerder groter dan kleiner. Op de lange duur kan dat zelfs leiden tot een grote weerzin in wiskunde. Ik begrijp dat nooit zo goed want wiskunde is zo fijn logisch, zit zo mooi in elkaar en 't werkt. Als je wiskunde al moeilijk vindt hoe moet dan dan met al die andere vakken. Die zijn pas ingewikkeld en onlogisch.

Als je mensen met een 'wiskundegat' een probleempje voorlegt dan 'slibben de hersenen dicht', 'slaat de motor af' en eigenlijk zijn ze niet meer in staat om na te denken. Ze grijpen alles aan zich om vooral niet met het probleem bezig te houden. Ze raken gewoon het spoor bijster. Ik heb altijd gedacht dat mensen met een 'wiskundegat' ergens de aansluiting gemist hadden en vooral geplaagd werden door het ontbreken van een aantal basisvaardigheden en inzichten. Eerlijk gezegd denk ik dat er meer aan de hand is. Ik denk dat er conceptueel problemen zijn. Nooit de kans of tijd gehad om de concepten te verwerven en eigenlijk steeds rennend achter de feiten aan.

De vraag is nu of je leerlingen die, zeg maar, grote moeite hebben met het verwerven van die wiskundige concepten, lastig moet vallen met wiskunde als ze (in beginsel) niet van plan zijn zich die concepten eigen te maken. Los van de vraag of dit een 'keuze' is of 'onvermogen' lost proberen het af te dwingen weinig op. Er is weinig om op terug te vallen of om aan te refereren.

In dat licht is de recente controverse omtrent 'hoe zinvol is het om algebra te leren?' in de VS wel interessant. Veel studenten met zo'n 'wiskundegat' worden geacht allerlei wiskunde te doen die nauwelijks als nuttig wordt ervaren. Hoe zinvol is dat? Daar leer je (uiteindelijk) waarschijnlijk ook niks van.

Als wiskundedocent besteed ik veel van mijn (les-)tijd en energie aan leerlingen waarbij die wiskunde niet zo vanzelfsprekend is. Ze moeten toch (op de één of andere manier) die derde klas doorkomen. In de vierde klas zullen ze een profiel kiezen zonder wiskunde of (als hoogsthaalbare) wiskunde A. Voor die leerlingen is dat zinvol, maar voor de rest? Hoe zinvol is dat?

Wat erger is dat de leerlingen die wel iets met wiskunde kunnen nauwelijks worden uitgedaagd. Verwerven zij dan wel de nodige concepten voor een succesvolle (school-)loopbaan met wiskunde? Zouden zij zich dan wel kunnen ontwikkelen tot heuze wiskundigen of in ieder geval een loopbaan kiezen waar wiskunde een belangrijke rol speelt? Maar wie gaat zich interesseren voor zo'n '(k)leuter-vak'?

Je zou ook kunnen kiezen om het wiskundeonderwijs voor sommige leerlingen af te zwakken (om te buigen) en voor andere leerlingen te intensiveren (verdiepen). Adaptief onderwijs dus. Ben je geen ster in wiskunde? Doe dan de dingen die wel nuttig zijn, bijvoorbeeld voorbereiden op wiskunde A.

Ben je goed in wiskunde? Begin dan snel met 'echte wiskunde', laat die onrealistische contexten achterwege: redeneren en bewijzen, abstracter, probleemgestuurd en nog zo wat. Hoe eerder hoe beter. Laat leerlingen die niks met wiskunde kunnen met rust en investeer in uitdagend en zinvol wiskundeonderwijs voor de leerlingen die het past. Is dat een idee of wat?:-)

Klagen en de waan van de dag

"Stop met klagen over bezuinigingen en de waan van de dag en sla, samen met je collega's, nieuwe wegen in naar het onderwijs dat past bij deze tijd."
bron

Woef woef

Ik kwam gisteren op dy/dan [LOA] Check For Understanding de volgende opgave tegen:



Met een aantal vragen:

1. In what ways has this context already been abstracted?
2. Can you de-abstract (recontextualize? concretize?) the context? Describe a task that would allow students to learn about the process of abstraction rather than just encounter its result.

Deze vraag hebben we in WisFaq ook wel 's gehad. Het 'magic word' is daar 'trimmer op het strand'. Je komt het probleem ook nog wel tegen als 'pijplijnprobleem'. En er was nog iets mee in de zin dat de brekingswet van Snellius ook een mooie oplossing geeft.

Hoe dan ook, de oplossing is een stuk minder interessant dan het probleem. Ik denk dat Dan's idee is vooral dat we ons in het wiskundeonderwijs vooral bezig houden met 'oplossingen' en niet met het 'probleem'. Terwijl feitelijk wiskunde interessant is als een manier om problemen op te lossen.

In dit geval hebben de auteurs het probleem eigenlijk al opgelost. De leerling/student mag dan nog even de oplossing geven volgens gebruikelijk stramien maar de lol is er dan wel een beetje af.

Je zou de vraag moeten stellen 'wat willen we leerlingen nu leren?' Is dat 'sommetjes maken' of 'problemen oplossen'? Hoeveel 'kale' vaardigheden heb je nodig om 'echte' problemen op te lossen? Waarom kan je niet beide doen? Misschien moet je juist wel beide doen!

Bestemming bereikt, probeer om te keren...

Op donderdag 27 september verdwijnt wiskundeleraar.nl definitief van het strijdtoneel. Ik heb al eerder gebruikers die toch geen enkele activiteit vertonen verwijderd. Morgen gaan de rest er ook definitief uit. Ik gebruik daarna de website alleen nog maar om de samenvatting aan te sturen. Voor mezelf.

Op het einde der tijden is nabij heb ik al zo'n beetje aangegeven waarom, hoezo en zo...:-)

Het is wel jammer omdat ik vind dat ik met de website heb laten zien dat je met ICT op een mooie manier onderwijs kan verzorgen. Ik heb allerlei leuke dingen gedaan, cursussen bedacht, gemaakt en uitgevoerd, handen en voeten gegeven aan zinvol digitaal leren en nog veel meer. Ik heb er zelfs over geschreven, geweblogd en nog zo wat, maar 't mocht allemaal niet baten. Het is voorbij. It's over. Ik ben een eenzaam figuur dat in de lava verdwijnt, een roepende in de woestijn,...

Is dat erg? Wel nee. Het leven gaat door en misschien krijg ik dan ruimte voor iets nieuws. Je kunt niet blijven trekken aan een dood paard.

Dit zou een mooi moment hebben kunnen zijn om iedereen te bedanken, maar dat is onzin. Ik heb 't voornamelijk alleen gedaan. Dus jullie bekijkt het verder maar:-))

E-learning, communities, studygroups,...

Ik ben al in week 2 van de cursus 'Introduction to Mathematical Thinking'.

The key to success in school math is to learn to think inside-the-box. In contrast, a key feature of mathematical thinking is thinking outside-the-box – a valuable ability in today’s world.

In de #MOOC doe je oefeningen en opdrachten. Sommige opdrachten tellen mee voor de beoordeling. In principe is er geen docent die de oefeningen nakijkt of zelfs maar de antwoorden geeft. Het idee is dat de studenten onderling de antwoorden bespreken en zo gaandeweg de stof onder de knie krijgt. So far so good.

In deze cursus is er een forum en er is zelfs een 'studygroup' in het Nederlands. Dat praat gemakkelijker. Aan de hand van de antwoorden wordt er zo van alles heen en weer gepraat over goed en fout. Wat de bedoeling is en nog zo wat.

Keith Devlin karakteriseert 'schoolwiskunde' als het houden aan de juiste procedures, het volgen van stappenplannen, op het juiste moment de juiste rekenregels hanteren en zoveel mogelijk de gevraagde oplossingen geven. Precies zoals dat van je verwacht wordt. Daar is niets mis mee en maakt (ook) deel uit van elke wiskundige activiteit. Gewoon netjes werken en geen rare dingen doen. Maar als je echt iets met wiskunde wilt dan zul je moeten leren zelf dingen te bedenken, uit te zoeken, te doorgronden...

Het is me al 's eerder opgevallen dat in e-learning communities of studiegroepen er meestal weinig ruimte is voor reflecties over de de manier waarop zoiets gaat. Men wisselt natuurlijk ideeën uit, wijst elkaar op onvolkomendheden, draagt bij aan de inhoud enz. maar over het proces zelf is men meestal minder expliciet.

Soms is dat wel nodig. Als je 'samen' dingen wilt bespreken of zelfs 'samen' wilt leren dan moet dat wel binnen de juiste sfeer plaatsvinden. Er moet voldoende ruimte zijn om te doen wat nodig is.

Als je nu iets wilt met 'wiskundig denken' dan zou je toch juist open moeten staan voor allerlei onzekerheden. De voorrangsregels voor logische operatoren is in wiskundige zin niet eenduidig vastgelegd. Boeken doen dat wel om het schrijfwerk te beperken. Ook bij programeertalen kom ze wel tegen, maar ook daar is geen uniformiteit. Verwijzen naar Wikipedia om daarmee de 'regels' vast te leggen is geen wiskunde. Hoe belezen kan je zijn?:-)

Je kunt op fora van alles tegen komen: Roeptoeters, vagebonden, TA's, prietpraters, puntneuzen en mensen die niet participeren en alles wat daar tussen zit. Is dat erg? Nee, zo werkt dat nu eenmaal. De vraag is alleen of ik daar dan deel van uit wil maken...:-)

Eén van de relevante vragen uit WisFaq van deze week is hebben sommige logische operatoren voorrang? Een bescheiden antwoord van een deskundige is misschien veel waard...:-)

Voor mij persoonlijk heb ik, denk ik, geen behoefte aan een studiegroepje. Evidente onzin wordt maar gewoon gelaten voor wat het is. Kennelijk heeft niemand de moed om 'eerlijk' te zijn. Als daarnaast relevante vragen die worden opgeworpen worden zo snel mogelijk onder de tafel moeten worden geveegd dan haak ik af. Ik vind het best, maar dan ga ik toch liever zelf op zoek naar mijn eigen haakjes:-)

Maar dat laatste is natuurlijk ook iets wat hoort bij 'wiskundig denken'. Dat je niet laat foppen door de verpakking, maar kijkt naar de inhoud. Het onbenul is ook altijd zo zeker van zichzelf...:-)

Nou we zien wel. Op naar week 3. Ik vind het leuk...:-)

Limieten functies van meer variabelen

Magister

"Gaat het hier wel eens over het ergste wat het onderwijs overkomen is? Nee, niet de Mammoetwet, niet Marja van Bijsterveld, niet MAVO wordt VMBO, niet die Malle Tweede Fase of dat Maffe Studiehuis, maar MAGISTER."
b(r)on

Deelbaar door 11

Naar aanleiding van de 'studygroup' van de #MOOC: zijn palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar door 11?

Zo'n 11 jaar geleden al 's proberen uit te leggen hoe dat zit met de truuk voor de deelbaarheid door 11. De cijfers om en om op- dan wel wel aftrekken. Is die som deelbaar door 11 dan is het getal dat ook. Bij een palindroomgetal met even cijfers komt er dan altijd precies 0 uit, dus deelbaar door 11.

Opgelost:-)

Zie ook stelling voor een andere opbrengst.

Inhoud van een piramide

Je deelt dropjes uit in de vorm van een piramide. De ribben van deze piramide met een vierkant grondvlak zijn allemaal 2 cm. Bereken op 1 decimaal nauwkeurig de inhoud in cm³. Lukt dat? Dan eet het op...:)
Wat is nu mooier dan lesmateriaal dat je op kan eten? Nou dan.:-)

Eerste lessen in de #MOOC

Ik heb mijn eerste lessen 'Mathematical Thinking' in de #MOOC gedaan. Dat was leuker dan ik dacht. Ik moet nu mijn huiswerk gaan doen. Er is ook een Nederlandse studiegroep, dus dat is ook weer aardig. Ik heb alweer van alles geleerd. Er stond trouwens ook weer iets over palindromen. Sommige 'dingen' komt je ook overal tegen.

Zie Palindroomgetal

Imiddels heb ik ook de rest van het huiswerk gedaan. Ik heb zelfs de eerste 'problem set' gedaan die meetelt voor de 'grading':

Feedback — Problem Set 1 - You achieved a score of 21.00 out of 21.00. - kijk...:-) - het braafste jongetje van de klas:-))

Alles goed en op tijd... tjeempie... als ik dat vroeger ook zo gedaan had dan was ik waarschijnlijk veel beter terecht gekomen...:-)

Hoe moet je bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn? Op Oneindig veel priemgetallen Dat hadden we dan toch al een tijdje. Maar ik snap 'm nu ook echt helemaal:-) Ook dankzij Er zijn oneindig veel priemgetallen natuurlijk.

Dat is ook nog een verschil. Na-papegaaien is iets anders dan inzicht...:-)

De liefde ontnomen

"Als gij voordeel uit uw naaste probeert te halen, waarvan gij niet wilt dat hij dat bij u doet, is aan de natuurlijke wet de liefde ontnomen."
bron

Beam me up Scotty

"Voor de nieuwe corporatie werd een fraai gebouw neergezet, in de vorm van een vliegende schotel. De leerlingen zouden onderwezen worden volgens de filosofie van het ‘Nieuwe leren’, waarbij ze zelf hun weg mochten vinden in de lesstof en het gebouw. Al snel bleek dat dit niet werkte, maar om meer traditioneel les te kunnen geven, waren aanpassingen aan het gebouw nodig."
bron

Stoppen met delen

"Het is best mooi dat je naam ergens genoemd wordt, maar ik denk dat er toch een paar leuk verdienende publicerende en presenterende mensen zijn, die hun brood zo verdienen. Is dat erg? Nee… je bent er namelijk zelf bij als je je laat bevragen, fotograferen en dingen deelt."
bron

Ik denk dat het nog steeds zo is dat publiceren op papier een hogere waardering krijgt dan publiceren in digitale zin. Als je een artikel geplaatst krijgt in een vaktijdschrift dan is dat een prestatie. Of schrijf een boek. Dat is pas een substantiele bijdrage aan de kenniseconomie:-)

Stel je voor dat je een boek zou willen maken over, bijvoorbeeld, toepassingen van web2.0 in het onderwijs. Waarom zou je dat dan niet op een website zetten? Gewoon makkelijk voor iedereen bereikbaar, goedkoop, makkelijk aan te passen en uit te breiden. Makkelijk vindbaar, gratis en doorzoekbaar. Waarom niet?

Kennelijk is een boek toch handiger dan een website? Ik zie daar niet het voordeel van, maar 't zal wel aan mij liggen.

Mijn filosofie is dat 'delen', waar iedereen altijd zo de mond van vol heeft, vooral betrekking heeft op andere mensen. 't Is natuurlijk erg fijn als 'andere mensen' van alles delen op Internet. Daar kan je dan maar mooi je voordeel mee doen. Dat is niet erg, daar zijn die 'grote gemene delers' zelf bij, inderdaad. Zoiets kan natuurlijk alleen werken als iedereen die lurkt ook zelf deelt. 't Is een kwestie van geven en nemen of niet...:-)

Daarnaast kunnen er natuurlijk allerlei motieven zijn om te delen. Laten zien hoe geweldig deskundig en innovatief je bent, op zoek naar aanvullende baantjes, workshops geven, praatjes houden op conferenties, nascholing geven, aanzien en waardering, eeuwige roem... Je zegt het maar.

Er zouden ook nog wel mensen kunnen zijn die uit idealisme nuttige dingen willen doen voor hun vak. Als wiskundedocent vind ik een digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskundeonderwijs een goed idee. Helemaal gratis en voor niets...

Inmiddels ben ik gestopt met het 'delen' van wat ik zo produceer. Een aantal veel gebruikte pagina's heb ik ondergebracht bij WisFaq. Maar ook WisFaq houdt een keer op. Je kunt niet eeuwig aan een dood paard blijven trekken.

Mijn iPadvriendelijke versie van de samenvatting van de wiskunde van mijn eigen onderwijs is nog wel beschikbaar, omdat ik dat op dit moment voor mijn eigen onderwijs gebruik. Voor de rest? Ik doe 't niet meer...:-)

Kunnen we daar iets van leren? Ja, dat denk ik wel. Maar dat moet je dan maar zelf bedenken. Zelf doen.