"Ik zeg niks, maar ik heb er wel ideeën over."
zaterdag 15 april 2017
Oplossingen controleren
In de 4e klas HAVO wiskunde B komt het wel 's voor dat leerlingen na hoofdstuk 4 alle oplossingen van vergelijkingen gaan controleren. In het hoofdstuk komt dat inderdaad voor bij wortelvergelijkingen en logaritmische vergelijkingen. Maar bij (bijvoorbeeld) tweedegraadsvergelijkingen moet je dat niet doen. Het is niet nodig en 't kost veel te veel tijd.
Voorbeeld
Los exact op: \(x^2-3x-11=0\)
Dat gaat zo:
\(
\eqalign{\begin{array}{l}
x^2 - 3x - 11 = 0 \\
x = \frac{{ - - 3 \pm \sqrt {\left( { - 3} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot - 11} }}{{2 \cdot 1}} \\
x = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 44} }}{2} \\
x = \frac{{3 \pm \sqrt {53} }}{2} \\
x = 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} \vee x = 1\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {53} \\
\end{array}}
\)
Mooi... nu nog even de oplossingen controleren...:-)
\(
\begin{array}{l}
\left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right)^2 - 3 \cdot \left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right) - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2}\sqrt {53} + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}\sqrt {53} - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} + - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} + 13\frac{1}{4} - 4\frac{1}{2} + - 11 = 0 \\
0 = 0 \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
...idem voor die andere oplossing. Is dat handig?
Nou nee niet echt...
Was dat nu nodig?
Nee dat was niet nodig...
Moet je dat dan gaan doen?
Nee normaal gesproken niet doen...
Wanneer dan wel?
Voorbeeld
\(
\begin{array}{l}
\log (x) = - \log (x - 3) \\
\log (x) + \log (x - 3) = 0 \\
\log (x(x - 3)) = \log (1) \\
x(x - 3) = 1 \\
x^2 - 3x - 1 = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 - 2\frac{1}{4} - 1 = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 - 3\frac{1}{4} = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 = 3\frac{1}{4} \\
x - 1\frac{1}{2} = \pm \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} \pm \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} - \sqrt {3\frac{1}{4}} (v.n) \vee x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
\end{array}
\)
Maar hoe doe je dat dan?:-)
Nog een voorbeeld:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = \sqrt {x^2 - 3x} \\
x + 2 = x^2 - 3x \\
x^2 - 4x - 2 = 0 \\
(x - 2)^2 - 6 = 0 \\
x = 2 - \sqrt 6 \vee x = 2 + \sqrt 6 \\
\end{array}
\)
Maar dan?:-)
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = \sqrt {x^2 - 3x} \\
\sqrt {2 - \sqrt 6 + 2} = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 6 } \right)^2 - 3 \cdot \left( {2 - \sqrt 6 } \right)} \\
\sqrt {4 - \sqrt 6 } = \sqrt {4 - 4\sqrt 6 + 6 - 6 + 3\sqrt 6 } \\
\sqrt {4 - \sqrt 6 } = \sqrt {4 - \sqrt 6 } \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
En dan die nog:
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
\sqrt x = - x + 3 \\
x = ( - x + 3)^2 \\
x = x^2 - 6x + 9 \\
x^2 - 7x + 9 = 0 \\
x = 3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} \vee x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,(v.n.) \\
\end{array}
\)
Maar hoe doe je dat dan?:-)
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} } - 3 = 0 \\
\frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} } = - \frac{1}{2} \\
x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,v.n. \\
\end{array}
\)
...en nu die andere...
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } - 3 = 0 \\
\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = 0 \\
\sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = \frac{1}{2}\sqrt {13} - \frac{1}{2} \\
2\sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = \sqrt {13} - 1 \\
4\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 13 - 2\sqrt {13} + 1 \\
2\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 7 - \sqrt {13} \\
7 - \sqrt {13} = 7 - \sqrt {13} \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
Dat viel eigenlijk best mee...:-)
Voorbeeld
Los exact op: \(x^2-3x-11=0\)
Dat gaat zo:
\(
\eqalign{\begin{array}{l}
x^2 - 3x - 11 = 0 \\
x = \frac{{ - - 3 \pm \sqrt {\left( { - 3} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot - 11} }}{{2 \cdot 1}} \\
x = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 44} }}{2} \\
x = \frac{{3 \pm \sqrt {53} }}{2} \\
x = 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} \vee x = 1\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {53} \\
\end{array}}
\)
Mooi... nu nog even de oplossingen controleren...:-)
\(
\begin{array}{l}
\left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right)^2 - 3 \cdot \left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right) - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2}\sqrt {53} + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}\sqrt {53} - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} + - 11 = 0 \\
2\frac{1}{4} + 13\frac{1}{4} - 4\frac{1}{2} + - 11 = 0 \\
0 = 0 \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
...idem voor die andere oplossing. Is dat handig?
Nou nee niet echt...
Was dat nu nodig?
Nee dat was niet nodig...
Moet je dat dan gaan doen?
Nee normaal gesproken niet doen...
Wanneer dan wel?
Voorbeeld
\(
\begin{array}{l}
\log (x) = - \log (x - 3) \\
\log (x) + \log (x - 3) = 0 \\
\log (x(x - 3)) = \log (1) \\
x(x - 3) = 1 \\
x^2 - 3x - 1 = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 - 2\frac{1}{4} - 1 = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 - 3\frac{1}{4} = 0 \\
\left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2 = 3\frac{1}{4} \\
x - 1\frac{1}{2} = \pm \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} \pm \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} - \sqrt {3\frac{1}{4}} (v.n) \vee x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}} \\
\end{array}
\)
Maar hoe doe je dat dan?:-)
Nog een voorbeeld:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = \sqrt {x^2 - 3x} \\
x + 2 = x^2 - 3x \\
x^2 - 4x - 2 = 0 \\
(x - 2)^2 - 6 = 0 \\
x = 2 - \sqrt 6 \vee x = 2 + \sqrt 6 \\
\end{array}
\)
Maar dan?:-)
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = \sqrt {x^2 - 3x} \\
\sqrt {2 - \sqrt 6 + 2} = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 6 } \right)^2 - 3 \cdot \left( {2 - \sqrt 6 } \right)} \\
\sqrt {4 - \sqrt 6 } = \sqrt {4 - 4\sqrt 6 + 6 - 6 + 3\sqrt 6 } \\
\sqrt {4 - \sqrt 6 } = \sqrt {4 - \sqrt 6 } \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
En dan die nog:
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
\sqrt x = - x + 3 \\
x = ( - x + 3)^2 \\
x = x^2 - 6x + 9 \\
x^2 - 7x + 9 = 0 \\
x = 3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} \vee x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,(v.n.) \\
\end{array}
\)
Maar hoe doe je dat dan?:-)
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} } - 3 = 0 \\
\frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} } = - \frac{1}{2} \\
x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,v.n. \\
\end{array}
\)
...en nu die andere...
\(
\begin{array}{l}
x + \sqrt x - 3 = 0 \\
3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } - 3 = 0 \\
\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = 0 \\
\sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = \frac{1}{2}\sqrt {13} - \frac{1}{2} \\
2\sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } = \sqrt {13} - 1 \\
4\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 13 - 2\sqrt {13} + 1 \\
2\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 7 - \sqrt {13} \\
7 - \sqrt {13} = 7 - \sqrt {13} \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
Dat viel eigenlijk best mee...:-)
vrijdag 31 maart 2017
zondag 26 maart 2017
Denkfouten
De mens is niet zo rationeel als we graag zouden geloven. Studies hebben aangetoond dat we vaak op een systematische en voorspelbare wijze denkfouten maken. Onze redeneringen steunen niet zozeer op de regels van de logica, als wel op eenvoudige denkstrategieën die leiden tot vooroordelen en illusies.
Skepsis
Skepsis
Landschap met touwtje springend meisje
- Salvador Dalí. Landschap met touwtje springend meisje, olieverf op doek, 1936-1936. Afmetingen: 4 x 298 x 90 cm middendeel: 293 x 280 cm zijvleugels: 261 x 84 cm. Collectie Museum Boijmans Van Beuningen.
donderdag 23 maart 2017
vrijdag 17 maart 2017
Disclaimer
Deze
website is bedoeld voor het onderwijs. Ik heb op zich geen bezwaar dat iemand de getoonde informatie hergebruikt voor niet commerciële doeleinden. Bronvermelding wordt echter wel zeer op prijs gesteld. Doe je dat niet dan ben je een badmuts. Elke aansprakelijkheid ten opzichte van mogelijke gevolgen van het bekijken van deze informatie wijs ik af.Iedereen die de op deze site getoonde of van deze site te downloaden informatie gebruikt wordt geacht akkoord te gaan met de bovengenoemde bepalingen.
zaterdag 11 maart 2017
Onbegrijpelijk...:-)
\(
\eqalign{
& x^7 \cr
& \left( {x + 1} \right)^3 \cdot x \cr
& x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x \cr
& \left( {x + 1} \right)^2 + 3x\left( {x + 1} \right) + 3(x + 1) + x \cr
& x^2 + 2x + 1 + 3x^2 + 3x + 3x + 3 + x \cr
& 4x^2 + 9x + 4 \cr
& 4(x + 1) + 9x + 4 \cr
& 4x + 4 + 9x + 4 \cr
& 13x + 8 \cr}
\)
\eqalign{
& x^7 \cr
& \left( {x + 1} \right)^3 \cdot x \cr
& x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x \cr
& \left( {x + 1} \right)^2 + 3x\left( {x + 1} \right) + 3(x + 1) + x \cr
& x^2 + 2x + 1 + 3x^2 + 3x + 3x + 3 + x \cr
& 4x^2 + 9x + 4 \cr
& 4(x + 1) + 9x + 4 \cr
& 4x + 4 + 9x + 4 \cr
& 13x + 8 \cr}
\)
woensdag 1 maart 2017
Vader en zoon
Over 5 jaar zal een vader 4 keer zo oud zijn als zijn zoon en over 10 jaar 3 keer
zo oud. Hoe oud is hij nu?
zondag 19 februari 2017
zaterdag 18 februari 2017
zaterdag 11 februari 2017
vrijdag 10 februari 2017
Bach en nummer 14
The cantata he composed especially for this service comprised two parts,
which were performed before and after the sermon. The two parts are
divided in turn into 14 sections – the Bach number. If you number all
the letters of the alphabet from 1 to 26 and then add up the values of
the b, a, c and h, you get 14. Bach often used this number as a sort of
signature.
bron
bron
dinsdag 31 januari 2017
Retrotweet
Ik ben een gekwelde geest in een afgetakeld lichaam. Ik was nooit van
plan om oud te worden. Eigenlijk was er helemaal geen plan. Er is nog
steeds geen plan. Het komt er gewoon niet van... zo'n plan...Ik doe wel van alles, maar wat komt er van terecht? Wat zijn mijn doelen? Zijn er wel doelen? Waar staan die dan? Hoe kan je weten wat je bent vergeten? Waar moet dat heen? Hoe zal dat gaan?
Maar zo kan dat niet blijven. Er is nog zo veel te doen en zo weinig tijd. Waar wachten we nog op? Laten we niet blijven prutsen en een daad stellen. Een bevestiging dat het allemaal niet voor niets is geweest.
Maar misschien moeten we de dingen gewoon maar 's anders doen, de apen uit de mouwen steken en kijken waar het schip strand. Een nieuwe route, een nieuw geluid...
 |
Abonneren op:
Posts (Atom)