zaterdag 15 april 2017

Oplossingen controleren

In de 4e klas HAVO wiskunde B komt het wel 's voor dat leerlingen na hoofdstuk 4 alle oplossingen van vergelijkingen gaan controleren. In het hoofdstuk komt dat inderdaad voor bij wortelvergelijkingen en logaritmische vergelijkingen. Maar bij (bijvoorbeeld) tweedegraadsvergelijkingen moet je dat niet doen. Het is niet nodig en 't kost veel te veel tijd.

Voorbeeld
Los exact op: \(x^2-3x-11=0\)
Dat gaat zo:

\(
\eqalign{\begin{array}{l}
 x^2  - 3x - 11 = 0 \\
 x = \frac{{ -  - 3 \pm \sqrt {\left( { - 3} \right)^2  - 4 \cdot 1 \cdot  - 11} }}{{2 \cdot 1}} \\
 x = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 44} }}{2} \\
 x = \frac{{3 \pm \sqrt {53} }}{2} \\
 x = 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53}  \vee x = 1\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {53}  \\
 \end{array}}
\)

Mooi... nu nog even de oplossingen controleren...:-)

\(
\begin{array}{l}
 \left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right)^2  - 3 \cdot \left( {1\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {53} } \right) - 11 = 0 \\
 2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2}\sqrt {53}  + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}\sqrt {53}  - 11 = 0 \\
 2\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 53 - 4\frac{1}{2} +  - 11 = 0 \\
 2\frac{1}{4} + 13\frac{1}{4} - 4\frac{1}{2} +  - 11 = 0 \\
 0 = 0 \\
 Klopt! \\
 \end{array}
\)

...idem voor die andere oplossing. Is dat handig?
Nou nee niet echt...

Was dat nu nodig?
Nee dat was niet nodig...

Moet je dat dan gaan doen?
Nee normaal gesproken niet doen...

Wanneer dan wel?

Voorbeeld 

\(
\begin{array}{l}
 \log (x) =  - \log (x - 3) \\
 \log (x) + \log (x - 3) = 0 \\
 \log (x(x - 3)) = \log (1) \\
 x(x - 3) = 1 \\
 x^2  - 3x - 1 = 0 \\
 \left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2  - 2\frac{1}{4} - 1 = 0 \\
 \left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2  - 3\frac{1}{4} = 0 \\
 \left( {x - 1\frac{1}{2}} \right)^2  = 3\frac{1}{4} \\
 x - 1\frac{1}{2} =  \pm \sqrt {3\frac{1}{4}}  \\
 x = 1\frac{1}{2} \pm \sqrt {3\frac{1}{4}}  \\
 x = 1\frac{1}{2} - \sqrt {3\frac{1}{4}} (v.n) \vee x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}}  \\
 x = 1\frac{1}{2} + \sqrt {3\frac{1}{4}}  \\
 \end{array}
\)

Maar hoe doe je dat dan?:-)

Nog een voorbeeld:

\(
\begin{array}{l}
 \sqrt {x + 2}  = \sqrt {x^2  - 3x}  \\
 x + 2 = x^2  - 3x \\
 x^2  - 4x - 2 = 0 \\
 (x - 2)^2  - 6 = 0 \\
 x = 2 - \sqrt 6  \vee x = 2 + \sqrt 6  \\
 \end{array}
\)

Maar dan?:-)

\(
\begin{array}{l}
 \sqrt {x + 2}  = \sqrt {x^2  - 3x}  \\
 \sqrt {2 - \sqrt 6  + 2}  = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 6 } \right)^2  - 3 \cdot \left( {2 - \sqrt 6 } \right)}  \\
 \sqrt {4 - \sqrt 6 }  = \sqrt {4 - 4\sqrt 6  + 6 - 6 + 3\sqrt 6 }  \\
 \sqrt {4 - \sqrt 6 }  = \sqrt {4 - \sqrt 6 }  \\
 Klopt! \\
 \end{array}
\)

En dan die nog:

\(
\begin{array}{l}
 x + \sqrt x  - 3 = 0 \\
 \sqrt x  =  - x + 3 \\
 x = ( - x + 3)^2  \\
 x = x^2  - 6x + 9 \\
 x^2  - 7x + 9 = 0 \\
 x = 3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13}  \vee x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,(v.n.) \\
 \end{array}
\)

Maar hoe doe je dat dan?:-)

\(
\begin{array}{l}
 x + \sqrt x  - 3 = 0 \\
 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13}  + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} }  - 3 = 0 \\
 \frac{1}{2}\sqrt {13}  + \sqrt {3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} }  =  - \frac{1}{2} \\
 x = 3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {13} \,\,v.n. \\
 \end{array}
\)

...en nu die andere...

\(
\begin{array}{l}
 x + \sqrt x  - 3 = 0 \\
 3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13}  + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} }  - 3 = 0 \\
 \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13}  + \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} }  = 0 \\
 \sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} }  = \frac{1}{2}\sqrt {13}  - \frac{1}{2} \\
 2\sqrt {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} }  = \sqrt {13}  - 1 \\
 4\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 13 - 2\sqrt {13}  + 1 \\
 2\left( {3\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt {13} } \right) = 7 - \sqrt {13}  \\
 7 - \sqrt {13}  = 7 - \sqrt {13}  \\
 Klopt! \\
 \end{array}
\)

Dat viel eigenlijk best mee...:-)

Geen opmerkingen:

Een reactie posten