donderdag 14 juni 2012

De hoogte van een toren

Hoorde ik nu gisteren iemand beweren dat je om de hoogte van een toren te meten altijd de afstand tot de toren moet weten? Dat is niet zo.

In een boek uit 1614 van Sybrandt staat een methode beschreven hoe je met een stok, een spiegeltje en een meetlint toch de hoogte van een toren zou kunnen bepalen.

Je legt ‘ergens’ een spiegeltje neer (C). Je zet de stok DE zo neer dat je als je vanaf de bovenkant van de stok in het spiegeltje kijkt je precies in het midden van het spiegeltje de torenspits ziet. Vervolgens zoek je punt F op en wel zo dat als je vanuit F kijkt, je precies de torenspits en de bovenkant van de stok op een lijn ziet.

Je meet vervolgens CD, DE en DF. Omdat je hier te maken hebt met 3 gelijkvormige driehoeken kun je met die gegevens de hoogte van de toren AB bepalen.

Dus ik bedoel maar...:-)

7 opmerkingen:

  1. AB = (DF+CD). ED / (DF-CD)

    BeantwoordenVerwijderen
  2. Reacties
    1. De hele afleiding kan ik wel geven. Een ogenblik was ik bang dat ik iets als x = x kreeg. Vroeger, op school, kwam dat wel eens voor. Het viel mee. Maar ik ben er niet zeker van dat ik het meest efficiënt te werk ben gegaan.

      Verwijderen
    2. ...en dan zullen we 's zien of het klopt wat je deed.

      Verwijderen
  3. Ik zeg niks:-) Waarschijnlijk ga ik dit nog 's gebruiken voor een opdracht voor mijn leerlingen. Dan mogen ze nog zelf 's aan de gang:-)

    BeantwoordenVerwijderen
  4. 1 ABC ~ EDC ; AB/BC = ED/CD ; BC = AB . CD / ED
    2 ABF ~ EDF ; AB/BF = ED/DF ; DF = ED . BF / AB of
    BF = AB . DF / ED
    3 BF = BC + DC + DF = AB . CD/ED + CD + ED . BF/AB
    BF (1 – ED/AB) = AB . CD/ED + CD
    (AB. DF /ED) (1 – ED/AB) = AB . CD /ED + CD
    (DF/ED) (AB-ED) = AB. CD /ED + CD
    AB DF/ED – DF = AB CD / ED + CD
    AB (DF/ED-CD/ED) = CD + DF
    AB = (CD+DF) / (DF/ED-CD/ED)= (CD+DF).ED/(DF-CD)
    AB = (DF+CD).ED / (DF-CD)

    BeantwoordenVerwijderen
  5. Je kunt ook de methode gebruiken waarmee je de hoogte van een berg op afstand bepaalt.
    Een berg in de verte heeft top C en hoogte h ten opzichte van een horizontaal grondvlak. In dat grondvlak neem je twee punten, A en B. Bekijk driehoek ABC. Meet AB en de hoeken A en B. Dan AC /sin(B) = AB/sin(C) . Dan weet je AC. Vervolgens h = AC sin(π – A) = AC sin(A). Je kunt de methode uitbreiden voor metingen waarbij AB niet horizontaal is.

    BeantwoordenVerwijderen